Уууу... даже и не знаю- а можно ли тут делать чертежи? :-)

Если ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, то обе прилегающих грани - прямоугольные треугольники. Это MCD и MAD, с прямым углом D. Эти треугольники будут равны (ибо их катеты равны a), площадь каждого из них равна a^2/2.

Остались две другие боковые грани - MBC и MBA. Блин, мне чего-то сильно кажется что они тоже прямоугольные. Почему? Да потому что MD был перпендикуляр к плоскости, и плоскости боковых граней MCD и MAD, через него проходящих, будут перпендикулярны к соответствующим сторонам квадрата. Грань MCD перпендикулярна AD (и соответственно BC) , а грань MAD перпендикулярна CD (и соответственно AB). Но боковое ребро MC лежит на грани MCD, значит оно перпендикулярно BC. Аналогично ребро MA лежит в плоскости грани MAD, и значит оно перпендикулярно AB. Тем самым треугольники MAB и MCB также прямоугольные и также равные.

Найдём MA (или MC - они равны). По теореме Пифагора это будет a корень из двух. Второй катет равен a (потому что это ребро основания). Площадь такого треугольника будет равна: S = (a * a * корень(2)) / 2. Таких треугольников тоже две штуки.

Итак, полная боковая поверхность:
S = a^2/2 + a^2/2 + (a^2 корень(2))/2 + (a^2 корень(2))/2 =
складывам дроби с одинаковым знаменателем и выносим а в квадрате за скобки
a^2 * (1 + корень(2))

А если вообще полная поверхность, то туда же ещё плюс основание: a^2, ведь в основании же квадрат, верно? :)
Тогда ответ будет: a^2 * (2 + корень(2))

Вот вроде бы и всё :-)
Могу ошибаться, если это так - прошу не серчать :-)