13. Lexxus, 2 июня 2013, 18:06:43
Универсальное решение КИМ7, Центр, С4, все восемь вариантов сразу:

Окружности радиусов {r} и {R} с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если угол ABO1 равен {альфа} градусов.

Решение:

Как обычно в C4, здесь могут быть два случая: первый - когда меньшая окружность находится вне большей, второй - меньшая окружность внутри большей.
В обоих случаях, имея один известный угол, мы сразу же знаем и все остальные, нужные нам:

ABO1 = (углы при основании равнобедренного треугольника) = BAO1 = (в первом случае вертикальные, во втором - просто один и тот же угол) = CAO2 = (углы при основании равнобедренного треугольника) = ACO2 = {альфа}.

AB = 2*r*cos(альфа)
AC = 2*R*cos(альфа)

Случай 1 (окружности касаются снаружи)

BC = AB+AC = 2(R+r)*cos(альфа)
S = 1/2*BC*CO2*sin(альфа) = 1/2*r*(R+r)*2*sin(альфа)*cos(альфа) =
= 1/2*r*(R+r)*sin(2альфа)

Случай 2 (окружности касаются изнутри)

BC = AC-AB = 2(R-r)*cos(альфа)
S = 1/2*BC*CO2*sin(альфа) = 1/2*r*(R-r)*2*sin(альфа)*cos(альфа) =
= 1/2*r*(R-r)*sin(2альфа)

В качестве примера - решение для варианта №1