Решения задач ЕГЭ по математике
Задание C4 №18
Хорда окружности, описанной вокруг треугольника
Добавлено 04.06.2010 22:45
Условие:
Радиус окружности, описанной около ∆ АВС, равен 13, Cos ВАС = - 5/13. Высота, проведённая к стороне ВС, равна 5. Найдите длину той хорды АМ описанной окружности, которая делится пополам стороной ВС.
Решение:
1. Во-первых, найдем BC. Как известно, угол, вписанный в окружность, опирается на вдвое большую дугу. Обозначим угол BAC за "альфа" (его косинус мы знаем). Тогда дуга BC (большая) равна 2альфа, а угол BOC, соответственно, 2пи-2альфа.
Хорда BC = 2R*sin(BOC/2) = 2*R*sin(пи-альфа) = 2*R*sin(альфа) = 2*R*sqrt(1-(5/13)^2) = 2*13*12/13 = 24.
2. Из прямоугольного треугольника BKO находим KO = sqrt(13^2-12^2) = 5
3. Теперь нам пора заметить, что у нас опять два случая. Как обычно, обозначим их красным и синим. Рассмотрим красный, а синий получится сам собой.
4. Из точки D отложим отрезок DP, параллельный и равный AT=5. KO=DP, оба они перпендикулярны BC...
В общем, я веду к тому, что точки M, O и P лежат на диаметре, параллельном BC, а треугольники ADT и DMP равны.
5. Рассмотрим прямоугольные треугольники ODM и ATD. Углы ADT и OMD равны, а значит, эти треугольники подобны (по двум углам).
Можем составить пропорцию:
OM/DM = AD/TD. Кстати, обозначим DM за x (То есть, в окончательном ответе нам нужно будет указать 2x).
Итак, 13/x = x/TD.
В свою очередь, TD найдем из треугольника ATD:
TD = sqrt(x^2-25)
Итак, вот и получилось уравнение:
13/x = x/sqrt(x^2-25)
Оно сводится к биквадратному
x^4-169*x^2+4225 = 0
У него есть два положительных корня:
x1 = sqrt(13/2*(13+sqrt(69))) (это для "красного" случая)
x2 = sqrt(13/2*(13-sqrt(69))) (это для "синего" случая)
Ну, и не забываем, что надо ещё умножить на два.
Ответ:
2*sqrt(13/2*(13+sqrt(69))), 2*sqrt(13/2*(13-sqrt(69)))