Решения задач ЕГЭ по математике
Задание C2 №29
В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник
Добавлено 22.03.2011 23:17
Условие:
В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого основание BC равно 3. Боковая поверхность призмы равна 32. Найдите площадь сечения призмы плоскости проходящей через CB1 параллельно высоте основания AD. Расстояние от A до плоскости сечения равно 6/5.
Решение:
1. Разберёмся с сечением. Поскольку оно параллельно AD, то его плоскости принадлежит прямая LK, параллельная AD и проходящая через середину CB1. Отрезок LK равен AD, а поскольку K - середина CB1, то L - середина AA1.
2. Раз L - середина AA1, то LC = LB1, а значит, треугольник CLB1 - равнобедренный, и его площадь, которую нам надо найти, равна CB1*LK/2.
3. Пусть x = AD = LK, у = AA1 = BB1 = CC1.
Тогда из условий, что площадь боковой поверхности призмы равна 32, а BC=3, получаем
(AB+BC+AC)*AA1 = 32
y*(2*sqrt((3/2)^2+x^2)+3) = 32, или
y*(3+sqrt(9+4*x^2)) = 32
(1)
4. Расстояние AH от точки A до плоскости CLB1 равно расстоянию от A до прямой LM, параллельной CB1 и проходящей через точку L.
LAM - прямоугольный треугольник, где AM = DC = 3/2, AL = y/2.
Его площадь равна
1/2*AM*AL = 1/2*LM*AH.
Отсюда получаем
1/2*3/2*y/2 = 1/2*6/5*sqrt((3/2)^2+(y/2)^2)
y = 4/5*sqrt(9+y^2)
(2)
5. Из уравнения
(2) находим, что высота призмы y = 4.
6. Из уравнения
(1), зная y, находим, что высота основания призмы x = 2.
7. Площадь треугольника CLB1
S = x*sqrt(3^2+y^2)/2 = 2*sqrt(9+16)/2 = 5
Ответ:
5