Условие:

Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых уравнение а^x = x имеет единственное решение.

Решение:

Пусть f(x) = a^x, g(x) = x.

Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области определения и может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.

При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.



При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) = g(x) также имеет единственное решение x=1.

При a > 1:
Производная функции h(x) = (a^x-x) равна
(a^x-x)' = a^x*ln(a)-1
Приравняем её к нулю:
a^x*ln(a) = 1
a^x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция h(x) убывает, справа - возрастает.

Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один корень она имеет только в том случае, когда он совпадает с найденным экстремумом.

То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = a^x-x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же точке. Иными словами, когда прямая y=x является касательной к графику функции a^x.



То есть

a^x = x
a^x*ln(a) = 1

Подставляем a^x = x во второе уравнение:
x*ln(a) = 1, откуда ln(a)=1/x, a = e^(1/x).

Снова подставляем во второе уравнение:
(e^(1/x))^x*(1/x) = 1
e^1 = x
x = e.

А это подставляем в первое уравнение:
a^e = e
a = e^(1/e)

Ответ:

(0;1] ∪ {e^(1/e)}