Условие:

Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине В и углом &α; при вершине А. Точка D - середина гипотенузы. Точка С1 симметрична точке С относительно прямой ВD. Найдите угол АС1В.

Решение:

Здесь у нас может быть два случая: alpha меньше 45 градусов и alpha больше 45 градусов:



Рассуждения, справедливые для обоих случаев:

BD = AC/2 = AD = CD.
Поскольку точка С1 симметрична точке С относительно прямой ВD, то СE = C1E и СС1 перпендикулярна BD. Значит, DC=DC1, BC = BC1, треугольники DCB и DC1B равны.
Углы DCB = CBD = DC1B = DBC1 = pi/2 - alpha.
Углы CDB = C1DB = pi - 2(pi/2 - alpha) = 2*alpha.
Из прямоугольного треугольника BEC1, угол BC1E = pi/2 - (pi/2 -alpha) = alpha.

DC1 = DC = AD, следовательно, треугольник ADC1 - равнобедренный. Угол при его вершине
ADC1 = pi - CDB - C1DB = pi - 4*alpha.
А углы при основании
DAC1 = DC1A = (pi - ADC1)/2 = 2*alpha.

Соответственные углы DAC1 = CDB, следовательно, прямые DB и AC1 параллельны. Следовательно, углы CED = AC1E = pi/2.

Осталось только заметить, что в первом случае
Угол AC1B = AC1E + BC1E = pi/2 + alpha

Во втором случае
Угол AC1B = AC1E - BC1E = pi/2 - alpha

А при alpha = 45° задача не имеет смысла, поскольку точки A и С1 совпадают.

Ответ:

&pi/2+&alpha при α<45°, &pi/2-&alpha при α>45°