Решение:
Сперва найдём ОДЗ.
1.1) Условие на основание логарифма:
|x| > 0 => x <> 0 (здесь и дальше "<>" значит "не равно")
1.2) Условие на основание логарифма:
|x| <> 1 => x <> -1, x <> 1
1.3) Условие на выражение под знаком квадратного корня:
9-x^2 >= 0 => (3-x)(3+x) >= 0 => x принадлежит [-3;3]
1.4) Условие на выражение под знаком логарифма:
sqrt(9-x^2)-x-1 > 0
sqrt(9-x^2) > x+1 =>
1.4.1) либо (x+1) < 0 => x < -1
1.4.2) либо система
{9-x^2 > (x+1)^2, x >= -1}
Решая первое неравенство системы, получим
x принадлежит ( (-1-sqrt(17))/2; (-1+sqrt(17))/2 ).
Поскольку sqrt(17) - это примерно sqrt(16)=4, то
(-1-sqrt(17))/2 примерно равно -2.5
(-1+sqrt(17))/2 примерно равно 1.5
Итак, в (1.4.2) у нас получается:
x принадлежит [ -1;-1+sqrt(17))/2 )
Объединяя все условия из (1.3) и (1.4), имеем:
x принадлежит [ -3 ; (sqrt(17)-1)/2 )
Объединив это с (1.1) и (1.2), имеем полное ОДЗ:
[-3; -1) U (-1;0) U (0;1) U (1; (sqrt(17)-1)/2)
Теперь, собственно, само неравенство.
В зависимости от значения x у нас будет тут четыре случая:
2.1) x < -1 => abs(x) = -x > 1
log_(-x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при потенциировании неравенство знак не меняет:
sqrt(9-x^2)-x-1 >= -x
9-x^2 >= 1
x^2 <= 8
x принадлежит [-2sqrt(2); 2sqrt(2)]
(sqrt(2) - это примерно 1.4, следовательно, 2sqrt(2) = примерно 2.8)
Итого в (2.1) имеем:
x принадлежит [-2sqrt(2);-1)
2.2) -1 < x < 0 => abs(x) = -x < 1
log_(-x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании неравенство меняет знак:
sqrt(9-x^2)-x-1 <= -x
x^2 >= 8
x принадлежит (-бесконечность; -2sqrt(2)] U [2sqrt(2); бесконечность).
С условием -1 < x < 0 это не пересекается, значит, в случае (2.2) решений нет.
2.3) 0 < x < 1 => abs(x) = x < 1
log_(x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма меньше единицы => функция убывающая => при потенциировании неравенство меняет знак:
sqrt(9-x^2)-x-1 <= x
В общем, решается это примерно также, как (1.4). Получится
2(sqrt(11)-1)/5 <= x <= 3
Тут нам важно понять, 2(sqrt(11)-1)/5 больше или меньше 1.
Решение в случае (2.3) будет только если
2(sqrt(11)-1)/5 < 1 => sqrt(11) < 3.5.
3.5^2 = 12.25 > 11, то есть в случае (2.3) мы всё-таки будем иметь решение
[2(sqrt(11)-1)/5; 1)
2.4) x > 1 => abs(x) = x > 1
log_(x)(sqrt(9-x^2)-x-1) >= 1
Основание логарифма больше единицы => функция возрастающая => при потенциировании неравенство знак не меняет:
sqrt(9-x^2)-x-1 >= x
Такое же неравенство, но с обратным знаком, мы уже только что решили, и выяснили, что больший корень меньше единицы. Следовательно, тут решений нет.
Итак, из (2.1) и (2.3) имеем:
x принадлежит [-2sqrt(2);-1) U [2(sqrt(11)-1)/5; 1)
А вот, для наглядности, как это всё выглядит: