Сообщения со словом
«лагранжиан»

1. 02.01.2014, 15:24. untitled в теме
   «Александр Ховалкин о фотонах»
   ... понять поинтересуйтесь электродинамикой по крайней мере лагранжиан и гамильтониан эм поля и квантовой механикой...
2. 05.05.2013, 23:39. Schufter в теме
   «Ассоциации»
   лагранжиан
3. 05.11.2012, 02:19. Schufter в теме
   «t34m о "духовной составляющей математики"»
   ... напоминаю что тема про математику 3 а теперь внимание лагранжиан вещественного скалярного поля не очень линейная...
4. 29.07.2012, 04:42. login в теме
   «Говорят, что физики открыли "частицу Бога"»
   ... непрерывной симметрии одного скалярного комплексного поля лагранжиан такого поля выглядит следующим образом здесь все записано в естественных единицах комплексно сопряженное скалярное поле а потенциал самодействия поля точнее это плотность потенциала но ее очень часто называют просто потенциал и поскольку мы будем иметь дело только с плотностью потенциала путаницы возникнуть не должно кроме того оператор производной по времени и пространственным координатам и мы используем так называемое эйнштейновское суммирование по повторяющимся индексам то есть как написано выше на классическом языке потенциал самодействия это плотность потенциальной то есть не связанной с изменением поля с течением времени и с неоднородностью поля в пространстве энергии поля в данной точке например для свободного поля потенциал самодействия равен где положительная константа положительная потому что приводит к неограниченному уменьшению энергии при неограниченном росте поля с физической точки зрения такая ситуация неестественна таким образом лагранжиан удовлетворяет следующим общим требованиям он должен быть скаляром относительно преобразований лоренца для того чтобы уравнения движения получались лоренц-ковариантными он должен быть действительным числом чтобы действие см ниже получалось действительным и потенциал входящий в лагранжиан должен быть ограничен снизу этот лагранжиан обладает глобальной u 1 симметрией если умножить поле на любое комплексное число с модулем равным единице то лагранжиан не изменится в дальнейшем мы увидим что вакуум состояние системы с наименьшей энергией не всегда обладает такой же симметрией что приводит к очень интересным последствиям сперва посмотрим на уравнения движения согласно принципу наименьшего действия уравнения движения поля соответствуют минимуму действия заданного интегралом заметим что комплексное поле состоит из двух полей действительной и мнимой части для каждой из них будет вообще говоря свое уравнение но иногда удобнее работать с полем и его комплексно сопряженным полем а не с действительной и мнимой частями математически обе формулировки эквивалентны с помощью вариационного исчисления уравнения движения получаются такие здесь лоренц-ковариантный дифференциальный оператор даламбера для свободного поля с квадратичным потенциалом как написано выше уравнение движения получается такое и такое же уравнение получается для комплексно сопряженного поля это уравнение называется уравнением клейна-гордона-фока и если искать его решение в виде плоских волн то связь между волновым вектором и частотой получается такая же как между импульсом и энергией частицы с массой более того если проквантовать поле то мы получим набор состояний которые ведут себя как свободные частицы с массой и связь между импульсом и энергией у них конечно будет та же самая поэтому если то поле называют свободным называют массой этого поля а член называют просто массовым членом и иногда даже не включают его в потенциал поля таким образом для возникновения массы скалярного поля ему вовсе не обязательно взаимодействовать с каким-то другим полем нужна просто квадратичная по полю плотность потенциала аналогичные члены можно написать для фермионного или векторного поля здесь я еще раз вернусь к вопросу почему бы не ввести массу фермионов и векторных бозонов в стандартную модель с помощью массовых членов в лагранжиане не вводя никакого поля хиггса ответ на этот вопрос состоит в том что эти массовые члены нарушили бы симметрию взаимодействия и максимальное несохранение четности как я объяснял в первой части через некоторое время мы рассмотрим эти вещи подробнее плотность энергии или гамильтониан нашего поля можно выразить через лагранжиан и его производные в результате чего получится здесь первые два члена энергия поля за счет изменения во времени и за счет неоднородности в пространстве а третий член потенциальная энергия поля вакуум решение уравнений движения соответствующее наименьшей энергии для того чтобы это решение найти не обязательно решать уравнения движения можно просто минимизировать энергию ясно что такое решение не должно зависеть ни от времени ни от пространственных координат это условие минимизирует первые два члена в гамильтониане а кроме этого оно должно соответствовать минимуму потенциала для квадратичного потенциала соответствующего свободному полю это уравнение дает а значит и есть состояние вакуума для свободного поля что замечательно это вакуумное состояние обладает той же симметрией что и лагранжиан то есть в этом случае в общем-то ничего интересного не происходит теперь слегка усложним потенциал поля а именно добавим к квадратичному члену четвертичный для того чтобы потенциал был ограничен снизу необходимо чтобы выполнялось в то время как и это очень важно теперь может быть отрицательным это не противоречит условию ограниченности потенциала снизу минимизируя энергию получим это уравнение имеет два решения и причем второе решение имеет смысл только при отрицательных значениях на рисунках показан потенциал в зависимости от поля в случае bigimg 300 http corum mephist ru uploads 1313905294 gallery 8150 317 9544 jpg bigimg и в случае bigimg 300 http corum mephist ru uploads 1313905294 gallery 8150 317 50070 jpg bigimg в первом случае минимум потенциала только один отмечен красной точкой во втором случае как видно из рисунка в этой точке будет максимум а минимумов будет целая куча точнее все значения поля лежащие на отмеченной красным окружности будут минимумами потенциала первый случай не отличается от выше рассмотренного квадратичного потенциала не изменяется при преобразовании симметрии а вот во втором случае все значительно интереснее в этом случае мы можем выбрать любое вакуумное состояние на окружности к примеру это состояние уже не будет инвариантно относительно u 1 преобразований посмотрим к чему это приводит для этого изменим параметризацию нашего поля и запишем его в виде где мы ввели обозначение а и действительные поля заметим что в вакуумном состоянии выбранном нами поле чисто действительно и видно что поле отвечает за изменение поля в касательном направлении вдоль окружности на рисунке а поле за изменение в поперечном направлении подставим эту параметризацию в лагранжиан где положительная константа посмотрим на этот лагранжиан три члена на первой строчке это лагранжиан свободных полей свободного безмассового поля и свободного массивного поля с массой то что стоит на второй строчке потенциал взаимодействия полей и в нем есть как самодействие полей первые два и четвертый член так и взаимодействие между этими полями третий и пятый члены последний член это константа ее можно выкинуть поскольку потенциальная энергия в любом случае определена с точностью до постоянной заметьте что в нашем лагранжиане нет членов линейных по полям потому что наше вакуумное состояние минимум потенциала и еще раз отметим что квадратичный член по полям только один массовый член поля а поле не имеет массового члена таким образом мы получили систему двух взаимодействующих полей одного массивного и одного безмассового если мало то взаимодействие полей можно учесть как малое возмущение когда мы проквантуем эту систему кванты возбуждения поля будут массивными скалярными бозонами с массой а кванты возбуждения поля безмассовыми скалярными бозонами оказывается что возникновение безмассовых полей таких как наше поле и соответствующих им безмассовых частиц в квантовой теории это общая черта систем со спонтанным нарушением глобальной симметрии такие поля называются голдстоуновскими бозонами а само утверждение о том что спонтанное нарушение глобальной симметрии когда вакуумное состояние имеет меньшую симметрию чем лагранжиан приводит к появлению безмассовых бозонов теоремой голдстоуна итак мы выяснили что происходит с комплексным скалярным полем в результате спонтанного нарушения глобальной u 1 симметрии а именно появляется один голдстоуновский бозон это еще не механизм хиггса но мы всего в одном шаге от него и чтобы сделать этот шаг нам надо ввести вместо глобальной u 1 симметрии симметрии которая изменяет фазу нашего поля одинаково во всем пространстве локальную или калибровочную u 1 симметрию а именно посмотрим что будет если мы предположим что изменение фазы поля зависит от координат и времени если мы подставим измененное поле где это константа которая выделяется для удобства мы потом отождествим ее с электрическим зарядом частиц описываемых нашим полем в лагранжиан он изменится вы можете это проверить то есть наш лагранжиан не обладает симметрией относительно локальных преобразований фазы поля оказывается для того чтобы правильно ввести такую симметрию в наш лагранжиан необходимо ввести взаимодействие поля с безмассовым векторным полем которое мы сразу назовем электромагнитным полем и мы сделаем это стандартным образом где это тензор электромагнитного поля а так называемая ковариантная производная комплексного скалярного поля теперь мы можем ввести локальное преобразование симметрии называемое калибровочным преобразованием которое оставляет наш лагранжиан неизменным а именно вот такое вот преобразование заметьте что это преобразование сразу и согласованно изменяет и скалярное комплексное поле и электромагнитное поле подставив это преобразование в лагранжиан выписанный несколькими строчками выше вы можете убедиться что оно действительно не изменяет лагранжиан такие преобразования которые изменяют фазу поля локально то есть по-разному в каждой точке пространства-времени называют калибровочными преобразованиями а векторное поле которое поправляет лагранжиан при локальном изменении фазы калибровочным полем в квантовой теории возбуждения этого поля как раз и будут калибровочными бозонами и все бозоны-переносчики взаимодействий о которых мы говорили в первой части фотон w- и z-бозоны а также глюон являются калибровочными бозонами очень важная особенность калибровочной симметрии необходимость введения именно безмассового калибровочного поля дело в том что если ввести в лагранжиан массовый член векторного поля он имеет следующий вид калибровочная симметрия нарушится этот член изменяется при калибровочных преобразованиях введение массового члена калибровочного поля в лагранжиан ведет не только к нарушению калибровочной симметрии в квантовой теории введение массового члена калибровочного поля ведет к разным нехорошим эффектам вроде нарушения унитарности как я указывал в первой части эти проблемы не позволяли ввести в теорию массивные векторные бозоны чтобы описать слабое взаимодействие теперь давайте посмотрим как механизм хиггса все исправляет точнее мы посмотрим как механизм хиггса приводит к появлению массы у калибровочных бозонов при этом не нарушая калибровочной симметрии лагранжиана мы делаем все то же самое что делали в случае глобальной u 1 симметрии берем потенциал поля такой же как раньше с четвертичным и квадратичным членами как в уравнении 9 при этом нам надо чтобы было отрицательным так возникало спонтанное нарушение глобальной симметрии а теперь давайте посмотрим что будет с локальной симметрией теперь однако мы выберем параметризацию для поля немного отличную от уравнения 11 а именно где и действительные поля если мы теперь подставим эту параметризацию в наш калибровочно-инвариантный лагранжиан 13 мы получим мы видим что спонтанное нарушение калибровочной симметрии привело к появлению безмассового поля голдстоуновского бозона и при этом в лагранжиане появился массовый член калибровочного поля таким образом калибровочное поле приобретает массу но самое замечательное в этой ситуации калибровочная симметрия хотя и нарушена спонтанно все равно сохраняется как симметрия лагранжиана действительно лагранжиан 19 не изменяется при следующем преобразовании полей где произвольная действительная функция пространственно-временных координат то что лагранжиан действительно не изменяется при этом преобразовании легко проверить это и есть механизм хиггса спонтанное нарушение калибровочной симметрии приводит к появлению ненулевой массы калибровочных бозонов при этом калибровочная симметрия лагранжиана сохраняется в отличие от случая когда мы вводили массовый член калибровочного поля непосредственно как в уравнении 17 при этом как оказывается сохранение калибровочной симметрии лагранжиана приводит к тому что исчезают все проблемы которые вызывают массивные векторные бозоны в квантовой теории есть еще один важный момент голдстоуновское поле как мы видим из 21 может быть выбрано произвольно так как мы можем произвольно выбрать функцию это означает к примеру что его можно просто положить равным 0 правда это надо делать аккуратно поскольку отвечает за сохранение калибровочной симметрии положить его равным 0 это значит также выбрать определенную калибровку поля при квантовании полей часто удобнее сохранять произвольную калибровку в любом случае это поле никак не сказывается на наблюдаемых физических результатах а это значит что у нас не возникает лишних безмассовых частиц голдстоуновских бозонов напомню также что безмассовое векторное поле имеет две независимых компоненты две поляризации фотона к примеру в то время как массивное векторное поле имеет три компоненты таким образом получается следующая картина при спонтанном нарушении калибровочной симметрии безмассовое векторное калибровочное поле две независимых компоненты становится массивным векторным полем три компоненты при этом голдстоуновское поле фактически исчезает оно произвольно и ни на что не влияет поэтому говорят что при спонтанном нарушении симметрии безмассовое векторное поле съедает голдстоуновский бозон и таким образом приобретает третью компоненту и становится массивным ну и наконец мы добрались до бозона хиггса бозон хиггса это то что осталось от поля хиггса после спонтанного нарушения калибровочной симметрии а именно поле это массивное скалярное поле его масса в нашей теории дана уравнением таким образом масса собственно бозона хиггса возникает не в результате какого-то специального взаимодействия а как эффект потенциала самого поля хиггса зная массу бозона хиггса и то как он взаимодействует с другими частицами в нашем случае этот бозон взаимодействует только с фотоном и это взаимодействие задается лагранжианом 19 после того как мы исключили поле оно принимает вид мы можем предсказать наблюдаемые сечения реакций с другой стороны в случае стандартной модели мы не знаем всех параметров механизма хиггса кроме того рассматриваются разные варианты механизмов спонтанного нарушения калибровочной электрослабой симметрии и не все из них нуждаются даже в наличии поля хиггса хотя во многих возникает скалярная частица похожая на наш бозон хиггса поэтому повторюсь изучение бозона хиггса того самого который открыли в церне изучение того как он рождается как взаимодействует с другими частицами так важно оно позволяет нам приблизиться к пониманию того как именно в конечном счете возникает масса элементарных частиц пара небольших замечаний о модели со спонтанным нарушением калибровочной симметрии которую мы рассмотрели здесь эта модель возникает при описании электромагнитного поля внутри сверхпроводника в этом случае поле отождествляется с полем куперовских пар бозонов-носителей заряда в сверхпроводнике случай отсутствия спонтанного нарушения симметрии соответствует отсутствию сверхпроводимости температура выше критической температуры в сверхпроводящем же состоянии возникает спонтанное нарушение u 1 калибровочной симметрии которое приводит к тому что безмассовое электромагнитное поле внутри сверхпроводника становится массивным что приводит к тому что внешнее магнитное поле очень быстро затухает внутри сверхпроводника фактически оно вытесняется из сверхпроводника и отлично от нуля только в тонком слое на его поверхности это называется эффектом майсснера таким образом механизм хиггса очень давно известен в физике сверхпроводников кроме того в этой модели в отличие от стандартной модели есть только калибровочный бозон и нет фермионов таким образом мы смогли показать только как возникает масса калибровочных бозонов переносчиков взаимодействия в стандартной модели масса w- и z-бозонов возникает абсолютно таким же образом как и в модели рассмотренной нами главное усложнение состоит в том что группа калибровочной симметрии там другая более сложная а именно прямое произведение такой же группы как у нас u 1 на группу su 2 группу унитарных матриц 2х2 с определителем равным 1 это усложнение однако позволяет придать массу фермионам в результате того же самого спонтанного нарушения симметрии пожалуй я не буду углубляться в детали того как именно решается этот вопрос скажу лишь что вопрос с массой фермионов решается совсем естественным образом и в некотором смысле гораздо проще чем с калибровочными бозонами лагранжиан функция которая порождает уравнения движения...
5. 27.04.2012, 23:00. Schufter в теме
   «Толи преподаватели глупые, толи я гений шпаргалок)»
   ... 1 основной принцип принцип наименьшего действия 2 лагранжиан спинорного поля 3 лагранжиан электромагнитного поля всё тот кто прочитал...
6. 18.07.2011, 14:06. ulitkanasklone в теме
   «Релятивисткая теория гравитации»
   ... принципе в случае ото гильберт в качестве плотности лагранжиана выбирает самый простой скаляр r -g r- скалярная кривизна риманова пространства здесь ситуация сложнее в ртг в лагранжиан входит четыре скаляра r -g -g и -g тут есть...
7. 20.06.2011, 00:58. Chaos в теме
   «О курсах общей физики на втором курсе.»
   ... посвящён классическому скалярному полю цитирую свободный лагранжиан этого поля выбирается следующим образом формула с тем чтобы полученное из него уравнение движения оказалось уравнением клейна-гордона лагранжиан подынтегральная функция в действии так что...
8. 23.05.2010, 20:22. davinchi в теме
   «Паскаль.Файлы. очень нужно.....»
   ... же не даёт на самой первой лекции по ядерной физике лагранжиан кхд так и показывать кусок кода даже простой...
9. 13.11.2009, 01:00. agnostos в теме
   «Задача по физике»
   ... только понять как эту силу вычислить и дальше записать лагранжиан для угла и не парится
10. 11.10.2009, 18:16. Homo Sapiens в теме
    «Путешествие во времени»
    ... бы хотелось и если б бы да кабы да туда-сюда то вот лагранжиан и на подобное отношение есть основания и...