Сообщения со словом
«фурье»

11. 01.11.2013, 09:36. S1680 в теме
    «Что здесь и для чего?»
    ... неочевидным кажется только одна вещь ряды тейлора фурье лорана если понять их то все остальное и без...
12. 29.10.2013, 21:42. Natallek в теме
    «Что здесь и для чего?»
    ... ученых на лекцию по применению быстрого преобразования фурье в анализе данных собралось безумное кол-во людей...
13. 27.10.2013, 15:18. Oleg77777 в теме
    «Мозг - антенна или суперкомпьютер?»
    ... раз пример функции которую нельзя разложить в ряд фурье вы ведь в курсе что траекторию гауссовского процесса...
14. 26.10.2013, 14:51. Oleg77777 в теме
    «Мозг - антенна или суперкомпьютер?»
    ... придется подбирать хрен-знает-сколько коэффициентов фурье ни один нормальный инженер этим заниматься не...
15. 19.10.2013, 15:22. Schufter в теме
    «МА. Ряды Фурье»
    теоретический минимум тема рядов фурье является очень важной она находит применение в физических приложениях она имеет большое значение и в математических вопросах в физике часто используются тригонометрические ряды фурье но лежащая в их основе идея глубже поэтому имеет смысл не ограничиваться тригонометрическими рядами чтобы продемонстрировать эту общую идею необходимы некоторые предварительные сведения функциональные пространства как известно теоремы в математическом анализе обычно формулируются для достаточно широких классов функций иначе это были бы специфические частные случаи которые впрочем тоже встречаются например часто встречается условие непрерывной дифференцируемости функции т е непрерывности как функции так и её первой производной на некотором промежутке скажем отрезке обычно о таких функциях говорят что они принадлежат классу этот класс по-другому можно назвать множеством функций или функциональным пространством существуют самые разнообразные функциональные пространства принадлежность функций к которым определяется такими требованиями как непрерывность непрерывная дифференцируемость интегрируемость и т д удобно говорить не об отдельных функциях а об их множествах не потому что это сильно увеличивает общность дело в том что часто бывает важно анализировать не только свойства элементов функциональных пространств но различных отображений определённых на этих пространствах такие отображения обычно называют операторами операторы изучаются в курсе функционального анализа очень абстрактном разделе математики имеющем очень важные приложения например именно с помощью теории операторов доказываются многие практически важные теоремы из теории дифференциальных и интегральных уравнений мы не станем здесь вдаваться в классификацию функциональных пространств ограничиваясь нормированными пространствами так называется линейное пространство каждому элементу которого ставится в соответствие вещественное число норма элемента удовлетворяющее трём свойствам 1 причём 2 3 например в пространстве вещественных чисел в качестве нормы вполне подойдёт модуль числа для корректности дальнейшего изложения нужно ещё определить понятие полноты пространства пространства со скалярным произведением следующий шаг ввести для элементов функционального пространства скалярное произведение иными словами каждым двум элементам и пространства нужно поставить в соответствие вещественное число удовлетворяющее следующим свойствам 1 причём 2 симметричность 3 линейность по обоим аргументам здесь напрашивается прямая аналогия со скалярным произведением векторов образующих кстати говоря линейное пространство в продолжение этой аналогии говорят что два элемента и евклидова пространства ортогональны если приведём пример скалярного произведения в пространстве кусочно-непрерывных на отрезке функций если в линейном пространстве введено скалярное произведение то оно называется евклидовым пространством евклидово пространство можно сделать нормированным полагая показать выполнение свойств нормы указанных в её определении несложно снова проведём аналогию с векторами нормой в пространстве векторов может являться их модуль но модуль вектора равен корню из скалярного квадрата вектора базис в функциональных пространствах при работе с линейными пространствами обычно в них выбирают базис и тогда каждый элемент пространства однозначно определяется своими координатами в этом базисе элемент векторного пространства представляется в виде разложения по базису а координатами являются коэффициенты этого разложения понятие базиса естественным образом возникает и в функциональных пространствах система называется базисом в евклидовом пространстве если заметим что суммирование в общем случае ведётся до бесконечности т е мы имеем дело с бесконечномерными пространствами приведём два примера базисных систем 1 тригонометрическая система эта система ортонормирована на отрезке т е все элементы системы попарно ортогональны а их норма равна единице покажем ортогональность системы аналогично проделываются ещё два расчёта другие две тригонометрические системы являются ортогональными но не ортонормированными на отрезке 2 полиномы лежандра ортогональной системой на отрезке является система полиномов лежандра ряды фурье вот теперь переходим собственно к рядам фурье рядом фурье элемента евклидова пространства называется его разложение по системе ортонормированных функций знак равенства здесь не ставится так как ничего не сказано о сходимости ряда говоря в терминах функциональных пространств предположим что имеется система ортонормированных в смысле введённой в данном пространстве нормы функций функция принадлежащая данному пространству может быть разложена по функциям поиск коэффициентов разложения основан на ортогональности любых двух функций набора скалярно умножая обе части последнего равенства на функцию получим таким образом если система функций не только ортогональная но и ортонормированная то знаменатель обращается в единицу тригонометрические ряды фурье применим соображения предыдущего пункта к тригонометрической системе на отрезке кусочно-непрерывная на этом отрезке функция представляется в виде ряда фурье где коэффициенты разложения т н коэффициенты фурье отметим что мы представляем функцию в виде ряда фурье только на данном отрезке если функция нечётная то в разложении останутся только синусы если функция чётная только косинусы для отрезка это достаточно очевидно однако выше был приведён пример тригонометрических систем на отрезке в данном случае о чётности или нечётности говорить не приходится так как определение чётности функции связано с симметрией относительно нуля к каким последствиям это приводит увидим в примерах ниже наконец отметим связь разложения функций в тригонометрические ряды фурье со спектральным анализом это также найдёт отражение в примерах примеры разложения в ряды фурье пример 1 разложение периодической функции в тригонометрический ряд фурье разложить в тригонометрический ряд фурье функцию обратите внимание отрезок на котором следует проводить разложение не указан это связано с периодичностью функции это вообще тот случай когда не нужно вычислять никаких коэффициентов разложение в тригонометрический ряд фурье представление функции в виде суммы конечной или бесконечной тригонометрических функций от аргументов разной кратности вот это и сделаем напомним как получается выражение для степеней синуса используем формулу муавра отделяем мнимую часть это и есть разложение в ряд фурье обратим внимание на две детали оно верно на любом промежутке будучи разложением нечётной функции оно содержит только синусы дадим графическую интерпретацию этого разложения при сложении двух функций графики которых изображены пунктиром получается исходная функция в исходной функции выделить определённую частоту было невозможно при разложении обнаружилось что в ней присутствуют две частоты пример 2 разложение нечётной непериодической функции в ряд фурье разложить в тригонометрический ряд фурье функцию в интервале в данном случае нужно просто вычислять коэффициенты фурье так как функция нечётная то разложение будет содержать только синусы соответственно все коэффициенты видно что в случае чётных значений коэффициент разложения обращается в нуль поэтому при записи ряда можно полагать интересно посмотреть на то как частичные суммы ряда фурье приближают раскладываемую функцию для этого изобразим на одном графике саму функцию и частичные суммы отвечающие одному двум трём и десяти слагаемым оставленным от всего ряда фурье видно что чем больше мы оставляем слагаемых тем больше результат приближается к раскладываемой функции вместе с тем эта идиллия сохраняясь на отрезке нарушается за его пределами это видно из графика справа ничего удивительного в этом нет разложение в ряд фурье справедливо именно на отрезке пример 3 разложение чётной непериодической функции в ряд фурье разложить в тригонометрический ряд фурье функцию в интервале и снова проводим непосредственное вычисление коэффициентов фурье только на этот раз в разложении останутся косинусы так как раскладывается чётная функция в случае чётных значений коэффициент разложения обращается в нуль поэтому при записи ряда можно полагать таким образом снова изобразим в одних координатах график раскладываемой функции и частичных сумм ряда фурье отвечающих одному двум и трём слагаемым оставленным в ряде фурье опять-таки разложение верно только на отрезке пример 4 разложение непериодической функции в ряд фурье общий случай разложить в тригонометрический ряд фурье функцию в интервале в данном случае требуется скорректировать вид ортонормированной системы по которой будет проводиться разложение так как в условии задан отрезок отличный от тогда тригонометрический ряд фурье примет вид где коэффициенты разложения т н коэффициенты фурье в остальном процесс разложения ничем не отличается от предыдущих примеров кроме того что на этот раз ряд будет содержать как синусы так и косинусы интегралы для коэффициентов фурье вычисляются либо дважды по частям либо с переходом от синусов и косинусов к комплексным экспонентам с последующим вычислением мнимой или вещественной части в результате приходим к следующему разложению в ряд фурье а так как то окончательно имеем на приведённом ниже рисунке снова показана раскладываемая функция и графики частичных сумм ряда фурье соответствующие одному двум трём и четырём оставленным слагаемым видно как с увеличением числа оставленных слагаемых график частичной суммы начинает виться вокруг графика экспоненты постепенно приближаясь к нему пример 5 разложение функции в ряд фурье с доопределением функции разложить в тригонометрический ряд фурье функцию в интервале по синусам разложение проводится на интервале на котором система синусов и система косинусов сами по себе являются ортогональными разложение по косинусам в данном случае тривиально разложение по синусам требует некоторого комментария как можно увидеть из предыдущих примеров по синусам раскладываются нечётные функции косинус явно не является нечётной функцией однако мы можем доопределить его нечётным образом считая что на интервале функция равна тогда остаётся только вычислить коэффициенты фурье отличны от нуля только слагаемые с чётным индексом поэтому получаем разложение снова посмотрим на то как приближают частичные суммы ряда фурье исходную функцию на примере одного двух трёх и четырёх оставленных слагаемых ряда фурье видно что на интервале с ростом номера частичной суммы график становится всё ближе к графику косинуса однако если посмотреть на интервал то становится видно как на интервале формируется нечётным образом продолженный косинус что и закладывалось в построение ряда фурье по предположению заметим что аналогичное задание для всего интервала не имело бы смысла так как нельзя представить чётную функцию в виде линейной комбинации нечётных замечание функцию заданную на любом не симметричном относительно начала координат отрезке можно разложить в ряд фурье доопределяя её аналогично тому как это сделано в примере 5 способы этого доопределения могут быть весьма разнообразны но все они в конечном счёте служат одной цели сделать применимыми формулы разложения функции в тригонометрический ряд фурье
16. 27.09.2013, 00:50. Schufter в теме
    «УМФ. Метод Фурье (стоячих волн)»
    теоретический минимум divide et impera метод фурье один из универсальных методов решения уравнений в частных производных в том смысле что им можно решать многие уравнения всех трёх обычно рассматриваемых типов гиперболические параболические и эллиптические у него есть конечно и свои недостатки о которых будет сказано напомним что уравнения в частных производных решаются совместно с дополнительными условиями начальными или краевыми метод фурье в первую очередь применяется к уравнениям с однородными краевыми условиями т е требуется обращение искомой функции в нуль на границе рассматриваемой области основная идея метода заключается в поиске решения в виде произведения функций каждая из которых зависит от своей переменной мы последовательно рассмотрим применение метода фурье к уравнениям с различными дополнительными условиями 1 однородное уравнение с однородными краевыми условиями рассматривается задача решение ищем в виде подставим этот вид решения в уравнение 1 последняя пропорция объясняется тем что соотносятся функции разных аргументов а получается одно и то же в связи с этим отношение должно быть числом минус в выражении ставят для удобства получаем задачу это задача штурма-лиувилля решить задачу штурма-лиувилля значит найти все которым соответствуют нетривиальные решения называемые собственными функциями числа называются при этом собственными значениями легко видеть что в данном случае при есть только тривиальные решения при имеем именно для положительности собственных значений изначально был выделен минус подстановка первого краевого условия даёт что из второго условия получаем это собственные значения задачи штурма-лиувилля собственные функции возвращаясь к пропорции 1 решаем ещё одно уравнение коэффициенты снабжены индексом т к они будут содержать это следует из того что это уравнение получено из той же пропорции что и первое уравнение т е оба уравнения связаны итак мы нашли одно решение удовлетворяющее краевым условиям общее решение будем искать в виде ряда для поиска коэффициентов пользуемся начальными условиями начинаем с условия 2 при определении коэффициентов разложения учитываем что система функций ортогональна на отрезке т е в справедливости этого утверждения можно убедиться непосредственным вычислением таким образом для определения неизвестных коэффициентов в разложении 2 скалярно умножаем обе части равенства 2 на функцию при этом легко вычислить что совершенно аналогично находим из второго начального условия можно выписать окончательное решение упомянем о физическом смысле задачи уравнение может описывать в частности колебания струны длиной с закреплёнными концами начальные условия представляют собой начальные смещения и скорости точек струны собственные функции задачи штурма-лиувилля при этом описывают т н собственные колебания струны при которых на длине струны укладывается целое число полуволн соответственно решение представляется в виде линейной комбинации собственных колебаний всех возможных в такой ситуации частот комбинации стоячих волн отсюда и другое название метода 2 неоднородное уравнение с однородными краевыми и начальными условиями рассматривается задача усложнили задачу по сравнению с задачей предыдущего пункта добавлением в уравнение неоднородности упростились правда начальные условия первым этапом решения является нахождение собственных функций задачи штурма-лиувилля возникающей при решении соответствующего однородного уравнения из-за неоднородности в уравнении искать решение в виде предложенном в предыдущем пункте не получится решение ищут в виде где функции ещё подлежат установлению представим неоднородность уравнения в виде умножим скалярно всё исходное уравнение задачи на функцию произведение понимается в том же смысле что и в предыдущем пункте для дальнейшего преобразования заметим что а так как то уравнение принимает вид используя разложение неоднородности уравнения и искомой функции по функциям с учётом ортогональности последних находим это обыкновенное дифференциальное уравнение которое решается вместе с начальными условиями эти условия следуют из начальных условий к исходной задаче решая данную задачу коши находим функции и подставляем их в общий вид решения 3 неоднородное уравнение с неоднородными начальными и однородными краевыми условиями рассматривается задача ещё усложнили задачу теперь к неоднородности уравнения добавляются неоднородные начальные условия в этом случае применяется метод редукции используемый в математической физике не так уж редко мы разобьём задачу на две более простые представим искомую функцию в виде суммы задача тогда запишется так соизмеряя свои желания и возможности мы осознаём что мы умеем решать неоднородное уравнение с нулевыми начальными условиями и однородное уравнение с ненулевыми начальными условиями поэтому исходную задачу разобьём на две и каждую из этих задач мы в состоянии решить из них мы найдём функции и которые в сумме дадут искомую функцию 4 неоднородное уравнение с неоднородными начальными и краевыми условиями переходим к самой плохой задаче уравнение неоднородное все дополнительные условия ненулевые применим метод редукции вспомогательная функция в этот раз примет на себя краевые условия запишем и потребуем чтобы в силу таких требований зависимость функции от переменной практически определена а вот зависимость от переменной пока ничем не ограничена чтобы не усложнять себе задачу выберем эту функцию линейной по переменной тогда вторая производная выберем функцию тогда задача для функции получается следующей такую задачу мы уже обсудили выше метод фурье неудобен тем что решение получается в виде ряда который скорее всего суммировать не удастся сходимость ряда конечно гарантирована но она может оказаться медленной т е ограничиться небольшим числом слагаемых при использовании решения в конкретных задачах будет нельзя ошибка окажется слишком большой есть ещё ограничение в применимости метода это касается задач не на отрезке а на луче или прямой и задач на плоскости или в пространстве заданных в области сложной формы под сложной формой понимается форма границы например не совпадающая с координатными линиями какой-либо системы координат мы не рассматривали применение метода фурье с использованием криволинейных координат так...
17. 31.08.2013, 21:00. Natallek в теме
    «"Былое и думы"»
    ... организованы лекции среди которых была лекция о fft быстрое фурье преобразование народу пришло до фига лектор-...
18. 06.08.2013, 21:37. .kkursor в теме
    «SOS, что делать?»
    ... матаном формул хренова тьма а для чего они нужны ряды фурье преобразования лапласа переходные и дельта-функции...
19. 13.07.2013, 02:43. Schufter в теме
    «МА. Производная по направлению. Градиент»
    ... действительности хрестоматийный закон теплопроводности или закон фурье закон выражает плотность потока тепла по модулю это количество теплоты которое переносится через единичную площадку за единицу времени через градиент температуры где константа для изотропной среды называемая коэффициентом теплопроводности оставляя в стороне количественное соотношение утверждаемое этим эмпирическим законом отметим что в законе чётко прописано направление переноса тепла так как градиент направлен в сторону скорейшего возрастания функции то градиент взятый со знаком минус показывает направление скорейшего убывания функции следовательно в законе фурье заложено распространение тепла в направлении...
20. 02.07.2013, 06:11. Schufter в теме
    «Проверьте себя!»
    ... упорядочены ни по разделам ни по сложности 1 разложить в ряд фурье функцию 2 упростить выражение 3 решить уравнение...