Сообщения со словом
«интегрирования»

11. 06.06.2013, 00:05. Schufter в теме
    «ТФКП. Вычисление определённых интегралов с помощью контурного интегрирования»
    ... вычисления определённых интегралов с помощью контурного интегрирования в комплексной плоскости окончание пример 9 интеграл от функции со степенной особенностью разрезы на комплексной плоскости иногда подынтегральная функция такова что выбор контура осложняется сильной ограниченностью вариантов элементов контура по которым интеграл удастся вычислить на примере интеграла поясним суть проблемы и укажем как поступать в этом случае вычислять будем контурный интеграл выберем контур интегрирования естественно в него войдёт полуось только точку нужно обойти степенная функция многозначна а точка является точкой ветвления как можно замкнуть контур оказывается оптимальный вариант контур изображённый на рис 9 поясним рис 9 подынтегральная функция многозначна так как в ней присутствует степенная функция вообще говоря логарифмическая функция в предыдущих примерах тоже была многозначна но к каким-то специфическим следствиям это не приводило отличие в выбранном контуре в данном примере при обходе контура мы обходим точку ветвления вследствие чего может произойти переход к другой ветви многозначной функции чтобы этого избежать вводится разрез отмечен красной прямой в результате когда мы проходим отрезок слева направо мы двигаемся по верхнему берегу разреза когда мы обошли точку ветвления по участку и двигаемся по тому же отрезку но в обратном направлении то мы уже двигаемся по нижнему берегу разреза формально это означает что необходимо учитывать увеличение аргумента на при обходе точки ветвления переходим к вычислению сразу заметим что интегралы по дугам окружностей в пределе и стремятся к нулю это легко показать аккуратно проведём интегрирование по берегам разреза в пределе и получим с точностью до множителя искомый интеграл с другой стороны внутри контура интегрирования попал простой полюс подынтегральной функции причём таким образом пример 10 отслеживание изменения аргумента при обходе точек ветвления при вычислении несобственных интегралов второго рода обычно требуется обходить в комплексной плоскости точки ветвления подынтегральной функции при этом важно отследить как меняется аргумент при обходе точки ветвления мы продемонстрируем это на простом примере чтобы технические детали не заслонили основной идеи вычислим интеграл очевидно этот интеграл равен вычисление почти устное применима формула ньютона-лейбница теперь вычислим этот интеграл рассматривая контурный интеграл подынтегральная функция имеет две точки ветвления для выделения ветвей проводим разрез по отрезку сами точки ветвления обходим в результате получается изображённый на рис 10 контур интегрирования интегралы по малым окружностям в пределе их бесконечно малого радиуса стремятся к нулю дальше нужно проводить интегрирование по берегам разреза здесь следует сделать замечание конечно мы обошли особые точки но при обходе точек ветвления нужно отслеживать с какой именно ветвью многозначной функции мы имеем дело принципиальную роль здесь играет аргумент участвующих в расчёте величин в частности важно знать как меняется аргумент всей подынтегральной функции при обходе контура прежде всего следует зафиксировать ветвь многозначной функции потребуем чтобы на верхнем берегу разреза подынтегральная функция была равна перепишем рассматриваемую комплексную функцию в виде посмотрим что происходит с при обходе точки по участку заметим что при этом приращение аргумента точка не обходилась и произошёл обход точки в отрицательном направлении таким образом следовательно при переходе по участку контура с верхнего берега разреза на нижний функция приобретёт множитель т е в пределе бесконечно малого радиуса участков и с другой стороны этот контурный интеграл равен чтобы найти вычет разложим функцию в ряд лорана в окрестности бесконечно удалённой точки вычет взятый с противоположным знаком коэффициент при минус первой степени т е чему равен корень это зависит от выбранной ветви функции может быть или чтобы сделать выбор рассмотрим обход точки но не до нижнего берега разреза а до вещественной оси см рис 11 тогда при этом до обхода точки а при обходе приращение аргумента составило поэтому т е таким образом а потому пример 11 интеграл от функции с точками ветвления покажем как вычисляются более сложные интегралы от функций имеющих точки ветвления расчёт по сути аналогичен показанному в примере 10 поэтому комментарии будут менее подробные вычислим интеграл контур интегрирования мало отличается от использованного в...
12. 06.06.2013, 00:03. Schufter в теме
    «ТФКП. Вычисление определённых интегралов с помощью контурного интегрирования»
    ... в элементарных функциях методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости да и параметр иногда приходится вводить искусственно обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке интегрирования функций общая идея заключается в следующем составляется контурный интеграл интеграл по некоторым участкам контура должен совпадать с искомым определённым интегралом по крайней мере с точностью до постоянного множителя интегралы по остальным участкам контура должны вычисляться затем применяется основная теорема о вычетах согласно которой где это особые точки функции находящиеся внутри контура интегрирования таким образом контурный интеграл с одной стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов что обычно серьёзных сложностей не представляет основная сложность выбор контура интегрирования его подсказывает в принципе говоря подынтегральная функция однако без достаточной практики овладеть данным методом сложно а потому примеров будет приведено довольно много наиболее часто используются контуры составленные из элементов по которым удобно проводить интегрирование прямые дуги окружностей примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного интегрирования в комплексной плоскости пример 1 интегралы френеля вычислим интегралы несложно догадаться что первым шагом является переход к экспоненциальной форме предполагающий рассмотрение интеграла нужно только подобрать контур интегрирования понятно что в контур должна войти полуось вещественная и мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы френеля далее вычисляемый контурный интеграл по структуре подынтегрального выражения напоминает интеграл эйлера-пуассона значение которого известно но чтобы получить этот интеграл нужно положить тогда а такое представление переменной это интегрирование по прямой проходящей через точку под углом к вещественной оси итак два элемента контура есть чтобы контур замкнулся будем считать что выбранные два участка контура имеют конечную длину и замкнём контур дугой окружности радиуса позже мы устремим этот радиус к бесконечности в результате получается изображённый на рис 1 контур 1 внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет поэтому интеграл по всему контуру равен нулю на участке можно записать тогда в пределе этот интеграл равен нулю на участке можно записать тогда подставляем полученные результаты в 1 и переходим к пределу отделяя вещественную и мнимую части находим учитывая значение интеграла эйлера-пуассона пример 2 выбор контура интегрирования содержащего внутри особую точку подынтегральной функции вычислим интеграл похожий на рассмотренный в первом примере где вычислять будем интеграл контур выберем аналогичный тому который использовался в первом примере только теперь нет цели свести вычисление к интегралу эйлера-пуассона здесь заметим что при замене подынтегральная функция не изменится это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так чтобы она составляла с вещественной осью угол при записи контурного интеграла 2 интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю на участке можно записать таким образом из 2 при переходе к пределу находим здесь учтено что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс отсюда находим искомый интеграл пример 3 через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования на следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования вычислим интеграл фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси на которой подынтегральная функция не имеет особенностей остаётся только замкнуть контур интегрирования так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки то замкнуть контур можно полуокружностью радиус которой следует устремить к бесконечности и здесь возникает вопрос о том как должна быть выбрана полуокружность в верхней или нижней полуплоскости см рис 3 а б чтобы понять это запишем интеграл по полуокружности в обоих случаях а б как видно поведение интеграла в пределе определяется множителем в случае а а потому предел будет конечен при условии в случае б напротив а потому предел будет конечен при условии это наводит на мысль что способ замыкания контура определяется знаком параметра если он положителен то контур замыкается через верхнюю полуплоскость в противном случае через нижнюю рассмотрим эти случаи отдельно а интеграл по полуокружности в пределе как мы видели обратится в нуль внутри контура см рис 3а находится особая точка поэтому б аналогично находим с помощью интегрирования по контуру изображённому на рис 3б замечание может показаться странным что интеграл от комплексной функции получился вещественным однако это легко понять если в исходном интеграле выделить вещественную и мнимую часть в мнимой части под интегралом окажется нечётная функция а интеграл вычисляется в симметричных пределах т е мнимая часть обратится в нуль что и получилось в нашем расчёте пример 4 обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования в рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек либо они были внутри контура интегрирования однако бывает удобно выбрать контур так что на него попадают особые точки функции такие точки приходится обходить обход осуществляется по окружности малого радиуса который в дальнейшем просто устремляется к нулю в качестве примера вычислим интеграл может показаться что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек так как точка является устранимой особенностью но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность в точке таким образом требуется другой контур интегрирования см рис 4 он отличается от рис 3а только тем что особая точка обходится по полуокружности радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю 3 сразу заметим что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю а внутри контура особых точек нет так что весь интеграл по контуру равен нулю далее рассмотрим первое и третье слагаемые в 3 теперь запишем интеграл по малой полуокружности учитывая что на ней также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности не выписаны слагаемые стремящиеся к нулю в пределе собираем слагаемые в 3 кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого как видно обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились устремляя и имеем замечание совершенно аналогично вычисляется например интеграл дирихле напомним он отличается от только что рассмотренного отсутствием квадратов в числителе и знаменателе примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного интегрирования в комплексной плоскости продолжение пример 5 подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек во многих случаях выбор контура осложнён тем что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек в этом случае может оказаться так что сумма вычетов в действительности будет рядом сходимость которого ещё придётся доказывать если суммировать его не получается а суммирование рядов вообще отдельная довольно сложная задача в качестве примера вычислим интеграл понятно что часть контура вещественная ось на ней у функции особенностей нет обсудим как замкнуть контур выбирать полуокружность не следует дело в том что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей поэтому внутрь контура замкнутого полуокружностью в пределе бесконечно большого радиуса попадёт бесконечно много особых точек как ещё можно замкнуть контур заметим что отсюда следует что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок параллельный вещественной оси контур замкнётся двумя вертикальными отрезками в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси см рис 5 на вертикальных участках контура гиперболический косинус с ростом аргумента по модулю растёт экспоненциально поэтому в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю итак в пределе с другой стороны внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции вычеты в них следовательно пример 6 подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования до сих пор подынтегральная функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла либо переходила в неё отделением вещественной или мнимой части но не всегда всё оказывается так просто вычислим интеграл в смысле выбора контура особой проблемы нет хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов мы уже знаем по опыту предыдущего примера что нужен прямоугольный контур так как единственное отличие от примера 5 заключается в том что на прямую попадает полюс подынтегральной функции который нужно обойти поэтому выбираем изображённый на рис 6 контур рассмотрим контурный интеграл мы не станем расписывать его на каждом участке контура ограничившись горизонтальными участками интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому запишем интегралы по остальным участкам в пределе и первые два интеграла дадут потом они войдут в контурный интеграл в сумме с искомым который отличается знаком в результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет это означает что подынтегральная функция была выбрана неверно рассмотрим другой интеграл контур оставляем прежним для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах в пределе и первые две скобки обратятся в нуль снова образовав интегралы от нечётных функций в симметричных пределах а вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл имеет смысл продолжать вычисление аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при остаётся найти интеграл по полуокружности где как в примере 4 вычисляем интеграл учитывая малость итак у нас есть всё чтобы записать в пределе и контурный интеграл а с другой стороны внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции причём таким образом пример 7 интеграл от функции с логарифмической особенностью обратимся к многозначным функциям и начнём с логарифма под интегралом вычислим интеграл у логарифма имеется точка ветвления которую нужно обязательно обойти в контур обязательно войдёт полуось как замкнуть контур заметим что на половине вещественной оси знаменатель имеет тот же вид что и на полуоси поэтому контур выберем так как показано на рис 7 начнём с интегралов по прямолинейным участкам контура следует обратить внимание что на участке от до переменная интегрирования записана как нужно понимать что записать было бы ошибкой при обходе контура по большой полуокружности аргумент именно увеличивается на величину на участке контура подынтегральная функция ведёт себя как при следовательно интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечного радиуса стремится к нулю аналогично на малой полуокружности подынтегральная функция ведёт себя как при итак в пределе и с другой стороны внутри контура интегрирования находится особая точка причём итак отделяем...
13. 28.05.2013, 23:11. Schufter в теме
    «ТФКП. Вычисление вычетов»
    ... особой точке по определению называется величина контур интегрирования должен охватывать только одну особую...
14. 28.05.2013, 22:00. ovchar в теме
    «Интеграл Эйлера-Пуассона»
    пожалуйста помогите обосновать правомерность перехода от интегрирования по бесконечному прямоугольнику к интегрированию...
15. 24.05.2013, 20:12. Мария999 в теме
    «Помогите с графиком»
    ... 2 z 2 c 2 2 x 2 a 2 y 2 b 2 помогите найти область интегрирования
16. 27.04.2013, 23:03. Мастеров Александр в теме
    «Master Theory»
    ... реалная скорость и реальные координаты есть результат интегрирования ускорения по времени
17. 26.04.2013, 21:47. Мастеров Александр в теме
    «Master Theory»
    ... визуальная реальная скорость может быть получена путём интегрирования ускорения и не зависит от свойст эмв...
18. 26.04.2013, 11:19. Мастеров Александр в теме
    «Master Theory»
    ... существенно за время пока эмв достигнет границ области интегрирования поэтому интеграл по объёму от дивергенции...
19. 24.04.2013, 22:06. Виконт в теме
    «Master Theory»
    ... измерения в вашей со то назовем ее 1 мастер после интегрирования которое двойное получим расстояние между...
20. 23.04.2013, 22:35. Мастеров Александр в теме
    «Master Theory»
    ... визуальной скорости реальная скорость есть результат интегрирования по времени ускорения ускорение в мт абсолютно во всех исо одинаково и может быть измерено грузиком на пружине к примеру реальные координаты являются результатом интегрирования по времени реальной скорости реальная...