Сообщения со словом
«интегралов»

11. 06.06.2013, 00:03. Schufter в теме
    «ТФКП. Вычисление определённых интегралов с помощью контурного интегрирования»
    ... часто встречаются случаи когда вычисление определённых интегралов методами комплексного анализа предпочтительнее чем методами вещественного анализа причины могут быть самыми разными методы тфкп могут позволять в отдельных случаях сильно сократить вычисления иногда формулу ньютона-лейбница нельзя использовать так как неопределённый интеграл не выражается в элементарных функциях методы дифференцирования и интегрирования по параметру требуют очень аккуратного обоснования своей применимости да и параметр иногда приходится вводить искусственно обычно методами комплексного анализа вычисляются несобственные интегралы по бесконечному промежутку или от неограниченных на отрезке интегрирования функций общая идея заключается в следующем составляется контурный интеграл интеграл по некоторым участкам контура должен совпадать с искомым определённым интегралом по крайней мере с точностью до постоянного множителя интегралы по остальным участкам контура должны вычисляться затем применяется основная теорема о вычетах согласно которой где это особые точки функции находящиеся внутри контура интегрирования таким образом контурный интеграл с одной стороны оказывается выраженным через искомый определённый интеграл а с другой стороны вычисляется с помощью вычетов что обычно серьёзных сложностей не представляет основная сложность выбор контура интегрирования его подсказывает в принципе говоря подынтегральная функция однако без достаточной практики овладеть данным методом сложно а потому примеров будет приведено довольно много наиболее часто используются контуры составленные из элементов по которым удобно проводить интегрирование прямые дуги окружностей примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного интегрирования в комплексной плоскости пример 1 интегралы френеля вычислим интегралы несложно догадаться что первым шагом является переход к экспоненциальной форме предполагающий рассмотрение интеграла нужно только подобрать контур интегрирования понятно что в контур должна войти полуось вещественная и мнимая части интеграла по этой части контура представляют собой интегралы френеля далее вычисляемый контурный интеграл по структуре подынтегрального выражения напоминает интеграл эйлера-пуассона значение которого известно но чтобы получить этот интеграл нужно положить тогда а такое представление переменной это интегрирование по прямой проходящей через точку под углом к вещественной оси итак два элемента контура есть чтобы контур замкнулся будем считать что выбранные два участка контура имеют конечную длину и замкнём контур дугой окружности радиуса позже мы устремим этот радиус к бесконечности в результате получается изображённый на рис 1 контур 1 внутри контура интегрирования подынтегральная функция особых точек не имеет поэтому интеграл по всему контуру равен нулю на участке можно записать тогда в пределе этот интеграл равен нулю на участке можно записать тогда подставляем полученные результаты в 1 и переходим к пределу отделяя вещественную и мнимую части находим учитывая значение интеграла эйлера-пуассона пример 2 выбор контура интегрирования содержащего внутри особую точку подынтегральной функции вычислим интеграл похожий на рассмотренный в первом примере где вычислять будем интеграл контур выберем аналогичный тому который использовался в первом примере только теперь нет цели свести вычисление к интегралу эйлера-пуассона здесь заметим что при замене подынтегральная функция не изменится это соображение подсказывает выбрать наклонную прямую контура интегрирования так чтобы она составляла с вещественной осью угол при записи контурного интеграла 2 интеграл по дуге окружности в пределе стремится к нулю на участке можно записать таким образом из 2 при переходе к пределу находим здесь учтено что внутри контура интегрирования подынтегральная функция имеет простой полюс отсюда находим искомый интеграл пример 3 через верхнюю или нижнюю полуплоскость замкнуть контур интегрирования на следующем достаточно простом интеграле продемонстрируем характерную деталь выбора контура интегрирования вычислим интеграл фактически искомый интеграл функции вычисляется вдоль вещественной оси на которой подынтегральная функция не имеет особенностей остаётся только замкнуть контур интегрирования так как у функции под интегралом всего две конечные особые точки то замкнуть контур можно полуокружностью радиус которой следует устремить к бесконечности и здесь возникает вопрос о том как должна быть выбрана полуокружность в верхней или нижней полуплоскости см рис 3 а б чтобы понять это запишем интеграл по полуокружности в обоих случаях а б как видно поведение интеграла в пределе определяется множителем в случае а а потому предел будет конечен при условии в случае б напротив а потому предел будет конечен при условии это наводит на мысль что способ замыкания контура определяется знаком параметра если он положителен то контур замыкается через верхнюю полуплоскость в противном случае через нижнюю рассмотрим эти случаи отдельно а интеграл по полуокружности в пределе как мы видели обратится в нуль внутри контура см рис 3а находится особая точка поэтому б аналогично находим с помощью интегрирования по контуру изображённому на рис 3б замечание может показаться странным что интеграл от комплексной функции получился вещественным однако это легко понять если в исходном интеграле выделить вещественную и мнимую часть в мнимой части под интегралом окажется нечётная функция а интеграл вычисляется в симметричных пределах т е мнимая часть обратится в нуль что и получилось в нашем расчёте пример 4 обход особых точек подынтегральной функции при построении контура интегрирования в рассмотренных примерах подынтегральная функция либо не имела особых точек либо они были внутри контура интегрирования однако бывает удобно выбрать контур так что на него попадают особые точки функции такие точки приходится обходить обход осуществляется по окружности малого радиуса который в дальнейшем просто устремляется к нулю в качестве примера вычислим интеграл может показаться что подынтегральная функция не имеет конечных особых точек так как точка является устранимой особенностью но для вычисления интеграла приходится составлять контурный интеграл от другой функции чтобы обеспечить обращение интеграла в нуль на замыкающей полуокружности в пределе бесконечного радиуса здесь подынтегральная функция имеет полюсную особенность в точке таким образом требуется другой контур интегрирования см рис 4 он отличается от рис 3а только тем что особая точка обходится по полуокружности радиус которой предполагается в дальнейшем устремить к нулю 3 сразу заметим что интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечно большого радиуса стремится к нулю а внутри контура особых точек нет так что весь интеграл по контуру равен нулю далее рассмотрим первое и третье слагаемые в 3 теперь запишем интеграл по малой полуокружности учитывая что на ней также сразу будем учитывать малость радиуса полуокружности не выписаны слагаемые стремящиеся к нулю в пределе собираем слагаемые в 3 кроме относящегося к большой полуокружности слагаемого как видно обращающиеся в бесконечность при слагаемые взаимно уничтожились устремляя и имеем замечание совершенно аналогично вычисляется например интеграл дирихле напомним он отличается от только что рассмотренного отсутствием квадратов в числителе и знаменателе примеры вычисления определённых интегралов с помощью контурного интегрирования в комплексной плоскости продолжение пример 5 подынтегральная функция имеет бесчисленное множество особых точек во многих случаях выбор контура осложнён тем что у подынтегральной функции бесчисленное множество особых точек в этом случае может оказаться так что сумма вычетов в действительности будет рядом сходимость которого ещё придётся доказывать если суммировать его не получается а суммирование рядов вообще отдельная довольно сложная задача в качестве примера вычислим интеграл понятно что часть контура вещественная ось на ней у функции особенностей нет обсудим как замкнуть контур выбирать полуокружность не следует дело в том что гиперболический косинус имеет семейство простых нулей поэтому внутрь контура замкнутого полуокружностью в пределе бесконечно большого радиуса попадёт бесконечно много особых точек как ещё можно замкнуть контур заметим что отсюда следует что можно попробовать включить в контур интегрирования отрезок параллельный вещественной оси контур замкнётся двумя вертикальными отрезками в пределе находящимися бесконечно далеко от мнимой оси см рис 5 на вертикальных участках контура гиперболический косинус с ростом аргумента по модулю растёт экспоненциально поэтому в пределе интегралы по вертикальным участкам стремятся к нулю итак в пределе с другой стороны внутри контура интегрирования находятся две особые точки подынтегральной функции вычеты в них следовательно пример 6 подынтегральная функция определённого и контурного интегралов различны существует очень важный случай вычисления определённых интегралов методом контурного интегрирования до сих пор подынтегральная функция контурного интеграла либо просто совпадала с подынтегральной функцией определённого интеграла либо переходила в неё отделением вещественной или мнимой части но не всегда всё оказывается так просто вычислим интеграл в смысле выбора контура особой проблемы нет хотя у функции под интегралом бесконечно много простых полюсов мы уже знаем по опыту предыдущего примера что нужен прямоугольный контур так как единственное отличие от примера 5 заключается в том что на прямую попадает полюс подынтегральной функции который нужно обойти поэтому выбираем изображённый на рис 6 контур рассмотрим контурный интеграл мы не станем расписывать его на каждом участке контура ограничившись горизонтальными участками интеграл по вещественной оси в пределе стремится к искомому запишем интегралы по остальным участкам в пределе и первые два интеграла дадут потом они войдут в контурный интеграл в сумме с искомым который отличается знаком в результате из контурного интеграла искомый определённый интеграл выпадет это означает что подынтегральная функция была выбрана неверно рассмотрим другой интеграл контур оставляем прежним для начала снова рассмотрим интегралы по горизонтальным участкам интеграл вдоль вещественной оси перейдёт в этот интеграл равен нулю как интеграл нечётной функции в симметричных пределах в пределе и первые две скобки обратятся в нуль снова образовав интегралы от нечётных функций в симметричных пределах а вот последняя скобка с точностью до множителя даст искомый интеграл имеет смысл продолжать вычисление аналогично примеру 5 к нулю стремятся интегралы по вертикальным участкам контура при остаётся найти интеграл по полуокружности где как в примере 4 вычисляем интеграл учитывая малость итак у нас есть всё чтобы записать в пределе и контурный интеграл а с другой стороны внутри контура интегрирования оказался полюс подынтегральной функции причём таким образом пример 7 интеграл от функции с логарифмической особенностью обратимся к многозначным функциям и начнём с логарифма под интегралом вычислим интеграл у логарифма имеется точка ветвления которую нужно обязательно обойти в контур обязательно войдёт полуось как замкнуть контур заметим что на половине вещественной оси знаменатель имеет тот же вид что и на полуоси поэтому контур выберем так как показано на рис 7 начнём с интегралов по прямолинейным участкам контура следует обратить внимание что на участке от до переменная интегрирования записана как нужно понимать что записать было бы ошибкой при обходе контура по большой полуокружности аргумент именно увеличивается на величину на участке контура подынтегральная функция ведёт себя как при следовательно интеграл по большой полуокружности в пределе её бесконечного радиуса стремится к нулю аналогично на малой полуокружности подынтегральная функция ведёт себя как при итак в пределе и с другой стороны внутри контура интегрирования находится особая точка причём итак отделяем вещественную часть замечание отделяя мнимую часть мы получили бы значение ещё одного интеграла пример 8 интеграл от функции с логарифмической особенностью снова изменение подынтегральной функции ещё один пример когда подынтегральные функции определённого и контурного интегралов различны вычислим интеграл контур можно...
12. 28.05.2013, 23:11. Schufter в теме
    «ТФКП. Вычисление вычетов»
    ... в ряд лорана не связанные с вычислением контурных интегралов тут многое зависит от вида особой точки в разложении функции в ряд лорана в окрестности устранимой особой точки отрицательные степени отсутствуют следовательно и вычет в такой точке равен нулю разложение в ряд лорана в окрестности полюса содержит конечное число отрицательных степеней в этом случае для полюса n-го порядка чаще всего применяется именно эта формула для простого полюса полюса первого порядка формула сильно упрощается отдельно рассматривается вычет в бесконечно удалённой точке он равен взятому с противоположным знаком коэффициенту при минус первой степени разложения функции в ряд лорана в окрестности бесконечно удалённой точки вычеты находят применение при вычислении интегралов по основной теореме о вычетах примеры вычисления...
13. 11.04.2013, 16:13. TheEnt в теме
    «Пособие по сдаче экзаменов»
    ... оставляя только самые простые вопросы типа взятия интегралов и просто небольших вопросов редко являющихся...
14. 31.03.2013, 12:59. ORganic_fruit в теме
    «МАТАН - нужна помощь»
    срочно нужна помощь по решению задач на вычисление интегралов только 2 и 3
15. 15.03.2013, 10:06. mishin05 в теме
    «Необходимо составить определение»
    ... приращение т е определенный интеграл на сумму определенных интегралов оставляем слева это слагаемое в виде определенного интеграла остальные переносим вправо от знака равенства справа получается арифметическая разница определенных интегралов определение матанализа требует чтобы вся правая часть была равна тому подынтегральному выражению которое сейчас находится в первом интеграле справа а слева остался бы тот определенный интеграл который круто обозвали смотрим и удивляемся как разность определенных интегралов может дать в результате подынтегральное...
16. 30.01.2013, 05:29. mishin05 в теме
    «Первая фатальная ошибка матанализа»
    ... этой формулы пришлось вводить понятия несобственных интегралов ограничивать применение формулы ньютона-лейбница...
17. 28.01.2013, 08:04. mishin05 в теме
    «Первая фатальная ошибка матанализа»
    ... формула табличный интеграл не верна в принципе нет интегралов с разнозначными пределами интегрирования...
18. 17.01.2013, 19:13. Itheme в теме
    «Вопрос не для слабонервных»
    ... использования интегрирования по частям вместо простой суммы интегралов которую написал я вы так непрозрачно все...
19. 20.07.2012, 19:57. t34m в теме
    «В электроне 1000 масс Солнца»
    ... её внутреннего мира делённая на это один из первых интегралов уравнений гравитационного поля отвечающих...
20. 09.05.2012, 13:38. stary в теме
    «О выпадах против материализма »
    ... наука технологии умения навыки можно расписать до интегралов