Сообщения со словом
«последовательности»

31. 11.07.2013, 23:36. Schufter в теме
    «МА. Предел функции. Определение на языке "эпсилон-дельта"»
    ... последовательностям уже вводилось в теме ма предел последовательности определение на языке эпсилон-дельта рекомендуется сначала ознакомиться с содержащимся там материалом переходя к предмету этой темы напомним понятие функции функция представляет собой очередной пример отображения мы будем рассматривать самый простой случай вещественной функции одного вещественного аргумента в чём заключается сложность других случаев будет сказано позже функция в рамках этой темы понимается как закон по которому каждому элементу множества на котором определена функция ставится в соответствие один или несколько элементов множества называемого множеством значений функции если каждому элементу области определения функции ставится в соответствие один элемент множества значений то функция называется однозначной в противном случае функция называется многозначной мы здесь будем говорить для простоты только об однозначных функциях сразу хотелось бы подчеркнуть принципиальное отличие функции от последовательности существенно различны множества связанные отображением в этих двух случаях чтобы избежать необходимости использовать терминологию общей топологии поясним различие с помощью неточных рассуждений при обсуждении предела последовательности мы говорили только об одном варианте неограниченный рост номера элемента последовательности при этом росте номера сами элементы последовательности вели себя гораздо разнообразнее они могли накапливаться в малой окрестности некоторого числа они могли неограниченно расти и т п грубо говоря задание последовательности задание функции на дискретной области определения если же говорить о функции определение которой дано в начале темы то понятие предела следует строить аккуратнее имеет смысл говорить о пределе функции при стремлении её аргумента к определённому значению такая постановка вопроса не имела смысла применительно к последовательностям возникает необходимость внести некоторые уточнения все они связаны с тем как именно аргумент стремится к тому значению о котором идёт речь рассмотрим несколько примеров пока что вскользь эти функции позволят нам рассмотреть самые разные случаи приведём здесь же графики этих функций для большей наглядности изложения функция в любой точке области определения имеет предел это понятно интуитивно какую бы точку области определения мы ни взяли сразу можно сказать к какому значению стремится функция при стремлении аргумента к выбранному значению причём предел будет конечным если только аргумент не стремится к бесконечности график функции имеет излом это сказывается на свойствах функции в точке излома но с точки зрения предела эта точка ничем не выделена функция уже интереснее в точке непонятно какое значение предела приписать функции если мы подходим к точке справа то функция стремится к одному значению если слева функция стремится к другому значению в предыдущих примерах такого не было функция при стремлении к нулю хоть слева хоть справа ведёт себя одинаково стремясь к бесконечности в отличие от функции которая при стремлении аргумента к нулю стремится к бесконечности но знак бесконечности зависит от того с какой стороны мы подходим к нулю наконец функция ведёт себя в нуле совершенно непонятно формализуем понятие предела с помощью языка эпсилон-дельта основное отличие от определения предела последовательности будет заключаться в необходимости прописать стремление аргумента функции к некоторому значению для этого требуется вспомогательное в данном контексте понятие предельной точки множества точка называется предельной точкой множества если в любой окрестности содержится бесчисленное множество точек принадлежащих и отличных от чуть позже станет ясно зачем требуется давать такое определение итак число называется пределом функции в точке являющейся предельной точкой множества на котором определена функция если последовательно разберём это определение выделим здесь части связанные со стремлением аргумента к значению и со стремлением функции к значению следует понимать общий смысл записанного утверждения который приближённо можно трактовать следующим образом функция стремится к при если взяв число из достаточно малой окрестности точки мы будем получать значение функции из достаточно малой окрестности числа и чем меньше будет окрестность точки из которой берутся значения аргумента тем меньше станет окрестность точки в которую будут попадать соответствующие значения функции снова вернёмся к формальному определению предела и прочитаем его в свете только что сказанного положительное число ограничивает окрестность точки из которой будем брать значения аргумента причём значения аргумента конечно из области определения функции и не совпадающие с самой точкой мы ведь стремление пишем а не совпадение так вот если мы возьмём значение аргумента из указанной -окрестности точки то значение функции попадёт в -окрестности точки наконец сводим определение воедино какой бы малой мы ни выбрали -окрестность точки всегда найдётся такая -окрестность точки что при выборе значений аргумента из неё мы попадём в окрестность точки разумеется размер -окрестности точки при этом зависит от того какая была задана окрестность точки если окрестность значения функции будет достаточно велика то и соответствующий разброс значений аргумента будет большим с уменьшением окрестности значения функции уменьшится и соответствующий разброс значений аргумента см рис 2 осталось уточнить некоторые детали во-первых требование чтобы точка была предельной избавляет от необходимости заботиться что точка из -окрестности вообще принадлежит области определения функции во-вторых участие в определении предела условия означает что аргумент может стремиться к значению как слева так и справа для случая когда аргумент функции стремится к бесконечности следует отдельно определить понятие предельной точки называется предельной точкой множества если для любого положительного числа в интервале содержится бесчисленное множество точек из множества вернёмся к примерам функция особого интереса для нас не представляет разберёмся подробнее с другими функциями примеры пример 1 график функции имеет излом функция несмотря на особенность в точке имеет в этой точке предел особенность в нуле потеря гладкости пример 2 односторонние пределы функция в точке не имеет предела как уже отмечалось для существования предела требуется чтобы при стремлении слева и справа функция стремилась к одному и тому же значению здесь это очевидно не выполняется однако можно ввести понятие одностороннего предела если аргумент стремится к данному значению со стороны б льших значений то говорят о правостороннем пределе если со стороны меньших значений о левостороннем пределе в случае функции правосторонний предел левосторонний предел на языке эпсилон-дельта формальное определение одностороннего предела аналогично даётся определение левостороннего предела пример 3 бесконечный предел и предел на бесконечности функция в точке имеет бесконечный предел формальное определение бесконечного предела а вот функция в точке предела не имеет зато она имеет там односторонние пределы правосторонний и левосторонний обе эти функции имеют пределы при равные нулю формальное определение предела на бесконечности пример 4 отсутствие односторонних пределов функция в точке не только не имеет предела она не имеет там даже односторонних пределов действительно при стремлении аргумента к нулю со стороны положительных или отрицательных значений дробь по модулю неограниченно растёт синус не имеет на бесконечности определённого значения поэтому и односторонние пределы в точке не существуют однако можно привести пример когда бесконечные колебания синуса не мешают существованию предела причём двустороннего примером может служить функция график приведён ниже по понятным причинам построить его до конца в окрестности начала координат невозможно предел при равен нулю замечания 1 существует подход к определению предела функции использующий предел последовательности т н определение гейне там строится...
32. 07.07.2013, 18:19. Silver MC's в теме
    «Справочная: любые вопросики. И глупые тоже :)»
    в какой последовательности лучше смотреть star wars 1-6 или...
33. 30.06.2013, 20:01. Schufter в теме
    «МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта"»
    да я в курсе я специально в тему с пределом последовательности не стал примешивать предел функций...
34. 30.06.2013, 18:51. Schufter в теме
    «МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта"»
    wrx обратите внимание в теме заявлен предел последовательности а не функции поэтому я здесь ни слова не говорил о замечательных пределах и прочих разных вещах связанных с пределами функций а вот идея показать графически поведение элементов последовательности мне нравится если не возражаете...
35. 30.06.2013, 18:18. WRX в теме
    «МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта"»
    можно еще вот такой рисунок как иллюстрацию предела последовательности добавить как видно из рисунка
36. 30.06.2013, 05:22. WRX в теме
    «МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта"»
    shufter в общем виде индексы элементов последовательности могут быть и отрицательными многие...
37. 30.06.2013, 02:20. Schufter в теме
    «МА. Предел последовательности. Определение на языке "эпсилон-дельта"»
    ... причём указывается способ получения первого элемента последовательности второго элемента и т д таким образом задание числовой последовательности установление отображения связывающего множество натуральных и множество вещественных чисел строго говоря число элементов последовательности может быть конечным но нас будет интересовать случай когда число элементов последовательности бесконечно обозначается такая последовательность обычно так или короче когда последовательность задана то не представляет принципиальной сложности найти конкретный элемент последовательности скажем с номером возникает вопрос о том как ведут себя элементы последовательности при неограниченном росте их номера т е при рассмотрим три примера выпишем первые десять элементов каждой из этих последовательностей числа округлены где это требовалось до двух знаков после запятой выпишем ещё сотый элемент видно что элементы последовательности растут постепенно приближаясь к числу 2 элементы последовательности растут причём из её определения ясно что они будут расти и дальше элементы третьей последовательности и вовсе меняются так что нельзя сказать что они растут или убывают анализ последовательностей проведён грубо и совершенно безосновательно кроме того не введено никаких характеристик последовательностей которые дали бы возможность описывать поведение элементов последовательности с ростом их номера в математическом анализе вводится понятие предела последовательности к которому мы и переходим если говорить совсем просто то предел числовой последовательности число к которому стремятся её элементы при неограниченном росте номера элемента но такую формулировку конечно определением сделать нельзя для этого ей не хватает точности перед тем как дать определение предела последовательности упомянем о специфических объектах используемых для записи математических утверждений это т н кванторы квантор всеобщности и квантор существования понимать их нужно следующим образом строка обозначает дословно для любого элемента из множества выполняется строка обозначает дословно существует элемент из множества для которого выполняется кванторы всеобщности и существования называются двойственными по отношению друг к другу также приведём правило построения отрицания утверждений чтобы построить отрицание утверждения нужно заменить кванторы на двойственные а само утверждение на его отрицание позже будет показан пример построения отрицания итак число называется пределом последовательности обозначение если разберём это определение в нём корректно сформулировано то что элементы последовательности неограниченно приближаются к числу собственно об этом и говорит неравенство оно определяет интервал длиной середина которого приходится на точку если изображать это на вещественной оси смысл определения предела заключается в том что какой бы мы ни взяли длину интервала которому принадлежит предел последовательности всё равно начиная с некоторого номера все элементы последовательности будут находиться внутри этого интервала число может быть сколь угодно малым что и обеспечивает стремление последовательности к определённому числу наконец последняя деталь разумеется номер элемента начиная с которого все элементы последовательности принадлежат -окрестности точки зависит от размера этой окрестности чем меньше её размер тем больше требуется рассмотреть элементов последовательности прежде чем они попадут в данную окрестность и останутся там если у последовательности есть предел то говорят что она сходится примеры пример 1 доказательство по определению что число является пределом покажем как работает определение предела в конкретных случаях например для рассмотренной выше последовательности на основе выписанных её элементов можно предположить что её предел равен 2 докажем это по формальному определению для доказательства достаточно указать номер элемента последовательности начиная с которого при заданном будет выполнено неравенство таким образом при любом наперёд заданном элементы последовательности начиная с номера будут принадлежать -окрестности точки следовательно это и есть предел последовательности пример 2 бесконечный предел предел может быть и бесконечным это формулируется следующим образом здесь написано что последовательность расходится к легко можно переделать это утверждение для случая когда последовательность расходится к или бесконечности неопределённого знака под этот случай попадает рассмотренная выше последовательность действительно таким образом начиная с номера элементы последовательности оказываются больше значит последовательность расходится к пример 3 отсутствие предела третья из рассматривавшихся ранее последовательностей вовсе не имеет предела действительно мы не можем выбрать сколь угодно малую окрестность какой-либо точки чтобы начиная с некоторого номера элементы последовательности принадлежали выбранной окрестности пример 4 построение отрицания определения предела наконец построим отрицание определения предела т е формально запишем утверждение что ещё раз напомним что следует заменить кванторы двойственными а утверждение заменить противоположным замечания 1 заметим что обычно для доказательства что некоторое число является пределом данной последовательности или тем более что у последовательности нет предела определением не пользуются...
38. 11.06.2013, 02:02. WRX в теме
    «Каково учиться в МИФИ?»
    ... зная первый элемент k-й и k 1 делают вывод о всей последовательности натуральных чисел также и тут зная...
39. 10.06.2013, 20:58. Caius в теме
    «Кафедра теологии»
    ... остальное может быть информационный повод в другом по последовательности происходящего в духе теории заговора...
40. 18.05.2013, 22:01. siryoga в теме
    «Третий постулат СТО»
    ... длительность последовательность показаний часов соответствует последовательности событий т е этапам процесса совпадение...