Сообщения со словом
«интегрирования»

1. 06.10.2013, 02:22. Schufter в теме
   «ОДУ. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель»
   ... сравнивая с предыдущим выражением находим что константу интегрирования можно не писать всё равно функция определена с точностью до константы получился общий интеграл уравнения пример 2 подбор интегрирующего множителя это уравнение не относится к уравнениям в полных дифференциалах однако к нему несложно подобрать интегрирующий множитель обращает на себя внимание комбинация это числитель дифференциала дроби отличается только отсутствием знаменателя поэтому разделим всё уравнение на конечно подбор интегрирующего множителя возможен далеко не всегда посмотрим как можно было его найти в данном случае вычислим учитывая что функция зависит только от переменной приходим к выводу что интегрирующий множитель можно искать как функцию только переменной см формулу 2 и комментарий к ней применение указанной формулы приводит к интегрирующему множителю который мы сразу подобрали пример 3 возможность нахождения различных интегрирующих множителей снова попробуем сначала подобрать интегрирующий множитель бросается в глаза комбинация наличие в уравнении слагаемого наводит на мысль разделить уравнение на итак общий интеграл найден посмотрим что будет если искать интегрирующий множитель по указанной в теоретическом минимуме методике снова работает формула 2 приводя к интегрирующему множителю как видно значительно отличающемуся от использованного нами ранее получилось уравнение не представляет труда установить что это уравнение в полных дифференциалах т е существует функция такая что отсюда находим производную которая с другой стороны равна следовательно постоянную интегрирования не пишем так как функция определена...
2. 24.09.2013, 21:59. Королева Галя в теме
   «Юмор»
   ... худший ученик класса шепчет ему с парты ты пределы интегрирования перепутал переставь их все получится...
3. 30.08.2013, 21:39. ulitkanasklone в теме
   «Можно ли интегрировать тензор?»
   ... проинтегрировать каждую компоненту тензора и это будет интегрирования от скаляра но что мы получим некий объект...
4. 11.08.2013, 02:30. Schufter в теме
   «МА. Поверхностные интегралы второго рода»
   ... являются в общей случае функциями точки поверхность интегрирования разбивается на малые части в каждой части выбирается точка и составляется сумма где площадь проекции элемента на плоскость площадь проекции этого элемента на плоскость площадь проекции этого элемента на плоскость проводим суммированием по всем элементам на которые разбита поверхность и переходим к пределу устремляя к нулю диаметр наибольшей частичной области предел является поверхностным интегралом второго рода покажем как привести этот интеграл к виду из п 1 для этого придётся сделать небольшое отступление чисто геометрического характера пусть имеется плоскость пересекающая оси координат см рис 2 часть этой плоскости расположенная в первом октанте имеет площадь требуется найти площади всех трёх ортогональных проекций данной части плоскости на координатные плоскости как известно площадь проекции фигуры равна произведению площади самой фигуры и косинуса угла между плоскостью фигуры и плоскостью на которую она проектируется см рис 3 т е нужно найти углы которые составляет плоскость с координатными плоскостями угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями единичная нормаль к плоскости имеет компоненты являющиеся её направляющими косинусами поэтому угол между плоскостью и плоскостью равен см рис 2 а значит это же соотношение будет справедливо для бесконечно малых площадок и аналогично с учётом этих соотношений интеграл примет вид кстати эта форма записи более наглядна поэтому работать будем именно с ней изменение направления нормали на противоположное приводит к тому что интеграл меняет знак 3 вычисление поверхностного интеграла второго рода после приведения интеграла к форме содержащей направляющие косинусы нормали к поверхности задача по сути сводится к записи единичной нормали с дальнейшим вычислением поверхностного интеграла первого рода в этих действиях есть некоторая специфика поэтому подробно разберёмся с вычислением интегралов такого типа начнём со случая когда поверхность интегрирования задана явным уравнением например тогда вектор нормали записывается так а элемент площади поверхности в результате поверхностный интеграл принимает следующий вид 1 где область плоскости в которую проектируется поверхность интегрирования может быть так что поверхность интегрирования правильно проектируется на плоскость и задаётся уравнением или на плоскость и задаётся уравнением тогда формула по которой вычисляется интеграл немного корректируется 2 или 3 конечно запоминать такие формулы не рекомендуется легко что-нибудь перепутать лучше восстанавливать их применительно к конкретному расчёту заново исходя из формулы для вектора нормали и площади малого элемента поверхности есть один выделенный случай когда поверхность правильно проектируется на все три координатные плоскости т е из уравнения поверхности любая переменная может быть выражена однозначно тогда расчёт существенно упрощается обратите внимание на структуру формул 1 3 в каждой из них можно выделить три слагаемых причём одно из них выглядит проще других при проектировании поверхности на плоскость это слагаемое содержащее компоненту поля при проектировании на плоскость это слагаемое содержащее компоненту при проектировании на плоскость это слагаемое содержащее компоненту если поверхность правильно проектируется на любую координатную плоскость то мы разобьём интеграл на три части и спроектируем каждую часть наиболее удобным способом наконец случай параметрического задания поверхности как и при вычислении поверхностного интеграла первого рода нужно считать три якобиана через них выражаются направляющие косинусы нормали элемент поверхности таким образом для интеграла получаем где область изменения параметров соответствующая поверхности интегрирования 4 формула стокса формула остроградского-гаусса с поверхностным интегралом второго рода связаны две формулы находящие разнообразные применения в том числе в физических приложениях формула стокса где поверхность натянута на контур обход контура согласован с выбором нормали к поверхности по правилу правого винта уточнения требуются если поверхность интегрирования имеет дырки формула грина является частным случаем этой формулы кроме того из формулы стокса следует условие независимости криволинейного интеграла второго рода от формы пути формула остроградского-гаусса для векторного поля выполняется формула где поверхность ограничивает объём формула остроградского-гаусса имеет разные применения остановимся на двух из них во-первых легко доказать что объём тела может быть вычислен по формуле во-вторых иногда бывает необходимо вычислить поверхностный интеграл второго рода по незамкнутой поверхности связанный с громоздким расчётом тогда поверхность замыкают преобразуют интеграл к тройному и вычитают интеграл по добавленной поверхности см пример ниже замечание формулы стокса и остроградского-гаусса удобнее записываются в векторном анализе с использованием ротора и дивергенции векторного поля примеры вычисления поверхностных интегралов второго рода пример 1 интеграл по плоскости вычислить интеграл по внешней стороне части плоскости расположенной в первом октанте перепишем интеграл в виде проведём вычисление двумя способами сначала зададим плоскость явным образом во втором способе учтём что поверхность интегрирования правильно проектируется на все три координатные плоскости итак поверхность можно задать уравнением тогда вектор нормали вычислять корень в знаменателе не имеет смысла он всё равно сократится с корнем входящим в элемент поверхности таким образом интеграл примет вид осталось вычислить двойной интеграл по области изображённой на рис 4б покажем только расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле теперь воспользуемся тем что поверхность интегрирования правильно проектируется на все три координатные плоскости разобьём интеграл на два слагаемых в первом слагаемом проектируем поверхность на плоскость во втором на плоскость тогда получим нужно вычислить два двойных интеграла по областям изображённым на рис 4в и рис 4г соответственно замечание ответ можно было получить сразу вычислив объём пирамиды ограниченной поверхностью интегрирования и координатными плоскостями и удвоив его это обсновывается с помощью формулы остроградского-гаусса пример 2 интеграл по поверхности правильно проектирующейся на одну координатную плоскость вычислить интеграл по расположенной во втором октанте части эллиптического параболоида нормаль внешняя перепишем интеграл в виде поверхность иинтегрирования эллиптический параболоид правильно проектируется только на плоскость поэтому записываем уравнение поверхности в виде находим единичный вектор нормали комментарий по поводу корня в знаменателе тот же что и в примере 1 преобразуем поверхностный интеграл к двойному область интегрирования четверть круга интегрирование удобно проводить в полярных координатах пример 3 интеграл по поверхности заданной параметрически вычислить интеграл по части верхней поверхности геликоида соответствующей изменению параметров в пределах при вычислении интеграла потребуются три якобиана которые нужно вычислить предварительно поверхностный интеграл сводится к следующему двойному где нужно выполнить замену переменных используя параметризацию поверхности область интегрирования прямоугольник пример 4 применение формулы остроградского-гаусса к вычислению интегралов по замкнутым поверхностям вычислить интеграл по внешней поверхности эллипсоида применим к интегралу формулу остроградского-гаусса такой интеграл равен утроенному объёму эллипсоида интеграл легко вычисляется переходом к обобщённым сферическим координатам и равен пример 5 применение формулы остроградского-гаусса к вычислению интегралов по незамкнутым поверхностям вычислить интеграл по боковой поверхности конуса нормаль внешняя если бы поверхность интегрирования содержала круг то к интегралу можно было бы применить теорему остроградского-гаусса он был бы равен объёму конуса замкнём поверхность интегрирования указанным кругом тогда а интеграл по...
5. 10.08.2013, 01:10. Schufter в теме
   «МА. Криволинейные интегралы второго рода»
   ... пункте следует заметить что изменение направления интегрирования приведёт к тому что все проекции частичных дуг изменят знак на противоположный а значит если интегрирование проводится по замкнутому контуру то такой интеграл обычно называют циркуляцией и обозначают знаком 3 вычисление криволинейного интеграла второго рода методика вычисления криволинейного интеграла второго рода предельно проста следует параметрически задать кривую по которой проводится интегрирование тогда эти соотношения позволят определить связь дифференциалов с соответствующим изменением параметра на практике эта громоздкая формула применяется достаточно просто следует только вместо переменных всюду подставить их выражения через параметр и правильно определить пределы интегрирования не перепутав их порядок от этого зависит знак интеграла в случае криволинейного интеграла второго рода ставится ещё один вопрос пределы интегрирования в интеграле всегда определены интеграл вычисляется вдоль заданной кривой от некоторой точки до некоторой точки однако может ли быть такое что интеграл зависит только от точек и но не от кривой их соединяющей здесь можно указать физический пример работа силы тяжести зависит только от того в какой точке находилось тело в поле тяжести и в какую точку оно перемещено но не от пути по которому произошло перемещение существует критерий независимости величины криволинейного интеграла второго рода от формы пути интеграл не зависит от формы пути если выполняются три соотношения есть и другая эквивалентная формулировка подынтегральное выражение должно быть полным дифференциалом некоторой функции отметим что указанные условия требуют некоторых уточнений в случае когда контур интегрирования располагается в многосвязной области т е если в рассматриваемой области есть дыры 4 формула грина с криволинейным интегралом второго рода связана важная формулы имеющая теоретические и практические приложения формула грина где контур ограничивает область обход контура должен быть таким чтобы область оставалась слева с помощью формулы грина можно вычислять площади фигур легко показать что замечание в векторном анализе условие независимости интеграла от формы пути формулируется несколько проще требуется равенство нулю ротора векторного поля которое интегрируется в таком виде это условие легче запомнить примеры вычисления криволинейных интегралов второго рода пример 1 интеграл вдоль ломаной с параллельными координатным осям звеньями вычислить интеграл по ломаной oabc интеграл распадается на три части по отрезкам oa ab bc последовательно вычисляем каждый из них и складываем результаты на отрезке oa ордината и аппликата не меняются и равны нулю абсцисса меняется в пределах от нуля до поэтому на отрезке ab постоянны абсцисса и аппликата причём аппликата нулевая ордината меняется в пределах от нуля до наконец на отрезке bc постоянны абсцисса и ордината а аппликата меняется в пределах от нуля до пример 2 интеграл вдоль прямой в пространстве вычислить интеграл по отрезку прямой проходящей через точки и прямая в пространстве может быть задана параметрически отрезку ab соответствуют пределы интегрирования от нуля до единицы подставляем выражения для переменных в интеграл пример 3 интеграл вдоль заданной явным уравнением кривой на плоскости вычислить интеграл по дуге параболы от точки до точки кривая вдоль которой проводится интегрирование задана явно поэтому нужно только подставить вместо переменной в интеграле правую часть уравнения параболы пример 4 интеграл вдоль параметрически заданной кривой вычислить интеграл вдоль винтовой линии от точки пересечения линии с плоскостью до точки пересечения линии с плоскостью кривая вдоль которой проводится интегрирование задана параметрически нужно только подставить выражения для переменных через параметр в интеграл и проинтегрировать по параметру в пределах от нуля до пример 5 восстановление функции по её полному дифференциалу зная полный дифференциал функции восстановить функцию вопрос о восстановлении функции по её полному дифференциалу тесно связан с независимостью криволинейного интеграла от формы пути причина в критерии независимости интеграла от пути см п 3 итак криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы контура интегрирования нужно только выбрать начальную и конечную...
6. 08.08.2013, 19:31. Schufter в теме
   «МА. Криволинейные интегралы первого рода и поверхностные интегралы первого рода»
   ... определения является независимость от направления интегрирования т е 2 определение поверхностного интеграла первого рода рассмотрим функцию определённую на гладкой или кусочно-гладкой поверхности поверхность разбивается на частичные области с площадями в каждой такой области выбирается точка составляется произведение проводится суммирование по всем частичным областям затем осуществляется предельный переход с устремлением диаметра наибольшей из всех частичных областей к нулю предел является поверхностным интегралом первого рода 3 вычисление криволинейного интеграла первого рода методика вычисления криволинейного интеграла первого рода просматривается уже из формальной его записи а фактически следует непосредственно из определения интеграл сводится к определённому только нужно записать дифференциал дуги кривой вдоль которой проводится интегрирование начнём с простого случая интегрирования вдоль плоской кривой заданной явным уравнением в этом случае дифференциал дуги затем в подынтегральной функции выполняется замена переменной и интеграл принимает вид где отрезок отвечает изменению переменной вдоль той части кривой по которой проводится интегрирование очень часто кривая задаётся параметрически т е уравнениями вида тогда дифференциал дуги соответственно после замены переменных в подынтегральной функции криволинейный интеграл вычисляется следующим образом где части кривой по которой проводится интегрирование соответствует отрезок изменения параметра несколько сложнее обстоит дело в случае когда кривая задаётся в криволинейных координатах этот вопрос обычно обсуждается в рамках дифференциальной геометрии приведём формулу для вычисления интеграла вдоль кривой заданной в полярных координатах уравнением с чисто теоретической точки зрения достаточно просто понять что криволинейный интеграл первого рода должен сводиться к своему частному случаю определённому интегралу действительно выполняя замену которая диктуется параметризацией кривой вдоль которой вычисляется интеграл мы устанавливаем взаимно-однозначное отображение между частью данной кривой и отрезком изменения параметра а это и есть сведение к интегралу вдоль прямой совпадающей с координатной осью определённому интегралу 4 вычисление поверхностного интеграла первого рода после предыдущего пункта должно быть ясно что одна из основных частей вычисления поверхностного интеграла первого рода запись элемента поверхности по которой выполняется интегрирование опять-таки начнём с простого случая поверхности заданной явным уравнением тогда выполняется замена в подынтегральной функции и поверхностный интеграл сводится к двойному где область плоскости в которую проектируется часть поверхности по которой проводится интегрирование однако часто задать поверхность явным уравнением невозможно и тогда она задаётся параметрически т е уравнениями вида элемент поверхности в этом случае записывается уже сложнее соответствующим образом записывается и поверхностный интеграл где область изменения параметров соответствующая части поверхности по которой проводится интегрирование 5 физический смысл криволинейного и поверхностного интегралов первого рода обсуждаемые интегралы обладают очень простым и наглядным физическим смыслом пусть имеется некоторая кривая линейная плотность которой не является константой а представляет собой функцию точки найдём массу этой кривой разобьём кривую на множество малых элементов в пределах которых её плотность можно приближённо считать константой если длина маленького кусочка кривой равна то его масса где любая точка выбранного кусочка кривой любая так как плотность в пределах этого кусочка приближённо предполагается постоянной соответственно масса всей кривой получится суммированием масс отдельных её частей чтобы равенство стало точным следует перейти к пределу разбиения кривой на бесконечно малые части но это и есть криволинейный интеграл первого рода аналогично разрешается вопрос о полном заряде кривой если известна линейная плотность заряда эти рассуждения легко переносятся на случай неравномерно заряженной поверхности с поверхностной плотностью заряда тогда заряд поверхности есть поверхностный интеграл первого рода замечание громоздкая формула для элемента поверхности заданной параметрически неудобна для запоминания другое выражение получается в дифференциальной геометрии оно использует т н первую квадратичную форму поверхности примеры вычисления криволинейных интегралов первого рода пример 1 интеграл вдоль прямой вычислить интеграл вдоль отрезка прямой проходящей через точки и сначала запишем уравнение прямой вдоль которой проводится интегрирование найдём выражение для вычисляем интеграл пример 2 интеграл вдоль кривой на плоскости вычислить интеграл по дуге параболы от точки до точки заданные точки и позволяют выразить переменную из уравнения параболы вычисляем интеграл однако можно было проводить вычисления и иначе пользуясь тем что кривая задана уравнением разрешённым относительно переменной если принять переменную за параметр то это приведёт к небольшому изменению выражения для дифференциала дуги соответственно интеграл несколько изменится этот интеграл легко вычисляется подведением переменной под дифференциал получится такой же интеграл как и в первом способе вычисления пример 3 интеграл вдоль кривой на плоскости использование параметризации вычислить интеграл вдоль верхней половины окружности можно конечно выразить из уравнения окружности одну из переменных а затем провести остальные вычисления стандартно но можно использовать и параметрическое задание кривой как известно окружность можно задать уравнениями верхней полуокружности отвечает изменение параметра в пределах вычислим дифференциал дуги таким образом пример 4 интеграл вдоль кривой на плоскости заданной в полярных координатах вычислить интеграл вдоль правого лепестка лемнискаты на чертеже выше изображена лемниската вдоль её правого лепестка нужно проводить интегрирование найдём дифференциал дуги для кривой следующий шаг определение пределов интегрирования по полярному углу ясно что должно выполняться неравенство а потому вычисляем интеграл пример 5 интеграл вдоль кривой в пространстве вычислить интеграл вдоль витка винтовой линии соответствующего пределам изменения параметра вычисляем дифференциал дуги подставляем в интеграл примеры вычисления поверхностных интегралов первого рода пример 6 интеграл по поверхности заданной явно вычислить интеграл по поверхности тела поверхность интегрирования состоит из двух частей части плоскости которую обозначим и поверхности заданной уравнением эта поверхность представляет собой верхнюю половину конуса второго порядка проекция той её части по которой проводится интегрирование на плоскость представляет собой круг ограниченный окружностью запишем элемент поверхности таким образом поверхностный интеграл сводится к следующему двойному где круг такой интеграл проще всего вычислять в полярных координатах теперь интегрируем по плоскости это совсем простое интегрирование так как поверхностный интеграл сразу превращается в двойной без каких-либо дополнительных вычислений он будет отличаться только множителем от только что вычисленного окончательный ответ получается суммированием двух вычисленных интегралов пример 7 интеграл по сфере вычислить интеграл по верхней полусфере можно выразить явно например аппликату из уравнения сферы и проводить вычисления дальше но при интегрировании по сфере удобно использовать сферические координаты тем более элемент поверхности сферы в этом случае хорошо известен осталось только выполнить замену в подынтегральной функции пример 7 интеграл по параметрически заданной поверхности вычислить интеграл по части поверхности геликоида отвечающей границам изменения параметров поверхность интегрирования задана параметрически поэтому для написания...
7. 22.07.2013, 14:46. Schufter в теме
   «МА. Вычисление двойного интеграла»
   ... замене может заметно упроститься расстановка пределов интегрирования это уже можно было видеть на примерах 1 и 5 когда при интегрировании по одной и той же области в одних координатах расстановка пределов была элементарной а в других потребовалось разбивать интеграл на две части проследим аналогию в выполнении замены в определённом и двойном интеграле напомним процедуру замены переменной в определённом интеграле пусть требуется в интеграле перейти к переменной интегрирования причём выделим три момента 1 выполнение замены в подынтегральной функции 2 преобразование дифференциала 3 преобразование пределов интегрирования первый и третий пункты особых комментариев не требуют остановимся подробнее на втором в определённом интеграле он достаточно очевиден а потому именно здесь удобно отследить его геометрический смысл переход от дифференциала старой переменной к дифференциалу новой переменной происходит с помощью производной геометрически это связано с тем что некоторому малому приращению старой переменной соответствует вполне определённое приращение новой переменной в силу наличия между ними функциональной зависимости это показано на рис 10 производная появляющаяся при замене представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции а потому она позволяет выразить один катет в изображённом прямоугольном треугольнике приращение через другой катет приращение обратимся к случаю двойного интеграла и начнём с частного случая перехода к полярным координатам замена в подынтегральной функции выполняется элементарно расстановка пределов интегрирования обсуждалась ранее остановимся на преобразовании дифференциалов в случае определённого интеграла преобразование дифференциала представляло собой переход к дифференциалу новой переменной с поправкой на изменение длины отрезка который сначала представлял собой приращение а потом представляет собой приращение в случае двойного интеграла нужно рассмотреть преобразование элемента площади при замене переменных рассмотрим подробно как образуется элемент площади в координатах строятся координатные линии они и ограничивают элемент площади как это выглядит в случае полярных координат показано на рис 11 легко вычислить площадь изображённого элемента в полярных координатах так как речь идёт о бесконечно малых приращениях переменных и то изображённую фигуру можно считать прямоугольником его стороны равны такова разница в радиусах дуг окружностей и дуга окружности радиуса на которую опирается центральный угол итак элемент площади в полярных координатах понятно что такое вычисление может быть не столь простым для других систем координат и вообще хотелось бы иметь общую методику замены переменных в двойном интеграле можно доказать что общая методика такова вместо дифференциалов следует записать дифференциалы и умножить их на модуль якобиана перехода этот якобиан как раз и выражает изменение элемента площади связанное с его деформацией при замене переменных например в случае полярных координат что согласуется с результатом нашего расчёта сделанного с помощью чертежа итак замена переменных в двойном интеграле проводится следующим образом изменение обозначения области интегрирования с на связано с необходимостью изменить пределы интегрирования запомнить формулу достаточно просто во-первых по сути она повторяет формулу замены в определённом интеграле а во-вторых порядок перечисления переменных в якобиане такой что новые переменные должны сокращаться чтобы оставались старые переменные подчеркнём что это исключительно мнемоническое правило позволяющее лучше запомнить формулу никакой доказательной силы оно конечно не имеет ещё одно замечание касается появления в формуле модуля при замене в определённом интеграле мы не ставили производную под знак модуля однако знак автоматически учитывала расстановка пределов интегрирования ведь в определённом интеграле существует общая методика изменения пределов интегрирования а в двойном интеграле их приходится расставлять заново примеры пример 1 площадь эллипса вычислить интеграл по области ограниченной эллипсом в соответствии с геометрическим смыслом двойного интеграла мы сейчас фактически вычислим площадь эллипса проводить вычисление в прямоугольных координатах неудобно и принципиально этот метод не отличается от нахождения площади фигуры с помощью определённого интеграла здесь удобно перейти к так называемым обобщённым полярным координатам в этих координатах уравнение эллипса принимает предельно простой вид полярный угол принимает все значения от нуля до якобиан такого преобразования отличается от случая полярных координат только дополнительным множителем это достаточно очевидно но можно и проверить это расчётом итак пример 2 вид замены диктуется областью интегрирования вычислить интеграл по области ограниченной кривыми область интегрирования показана на рис 12 понятно что вычисление в прямоугольных координатах очень неудобно можно ввести такую замену координат чтобы область интегрирования существенно упростилась в этом примере вид замены подсказывается уравнениями определяющими границы области интегрирования после применения такой замены нужно...
8. 21.07.2013, 23:38. Schufter в теме
   «МА. Вычисление двойного интеграла»
   ... минимум продолжение обсудим тему расстановки пределов интегрирования в полярных координатах и для начала напомним как вводятся полярные координаты вводится точка играющая роль начала координат полюс и выходящий из неё луч полярная ось положение точки на плоскости характеризуется расстоянием до полюса и углом который составляет с полярной осью отрезок соединяющий точку и полюс см рис 5 связь декартовых прямоугольных и полярных координат задаётся соотношениями отсюда следует что т е уравнение задаёт на плоскости окружность радиуса а уравнение задаёт на плоскости прямую проходящую через начало координат полезно изобразить сеть координатных линий т е линий на которых та или иная координата постоянна для случая прямоугольных и полярных координат см рис 6 вернёмся к двойным интегралам при интегрировании с использованием прямоугольных координат для определения пределов интегрирования мы проводили прямые отвечающие постоянным значениям одной или другой переменной интегрирования при интегрировании в полярных координатах мы должны проводить линии соответствующие постоянным значениям расстояния до начала координат окружности и полярного угла прямые проходящие через начало координат снова проследим это на конкретных примерах в этих примерах мы не проводим интегрирования ограничиваясь расстановкой пределов интегрирования связано это с некоторой спецификой интегрирования в полярных координатах которая будет пояснена позже кроме того ничего нового по сравнению с уже приведёнными выше примерами проведение повторного интегрирования не даст примеры расстановки пределов интегрирования при использовании полярных координат пример 4 кольцевая область интегрирования расставить пределы интегрирования в полярных координатах в интеграле где область интегрирования кольцо этот пример аналогичен примеру 1 в том смысле что это простейший случай интегрирования в полярных координатах границу области интегрирования образуют координатные линии полярной системы координат см рис 7 поэтому пределы интегрирования расставляются элементарно так как подынтегральная функция не конкретизирована то за порядком интегрирования не следим если повторные интегралы существуют то они равны при конкретных вычислениях разумеется выбирается тот порядок интегрирования при котором вычисления проще пример 5 квадратная область интегрирования расставить пределы интегрирования в полярных координатах в интеграле где область интегрирования квадрат при интегрировании в прямоугольных координатах этот пример был простейшим теперь он несколько усложнился мы расставим пределы для обоих порядков интегрирования но сначала запишем уравнения сторон квадрата в полярных координатах первым рассмотрим случай когда внутреннее интегрирование выполняется по переменной тогда полярный угол фиксирован т е для определения пределов интегрирования следует проводить лучи исходящие из начала координат см рис 8 полярный угол в целом будет изменяться от нуля до но заметьте что прямые могут выходить из вертикальной прямой а могут из горизонтальной в связи с этим интеграл распадётся на два теперь проведём интегрирование в другом порядке внутреннее интегрирование проведём по полярному углу тогда переменная считается константой для определения пределов интегрирования проводим дуги окружностей см рис 9 как видно до некоторого значения радиуса окружности она пересекает стороны квадрата соответствующие значениям полярного угла 0 горизонтальная сторона и вертикальная сторона когда радиус окружности становится равным единице то она начинает пересекать две другие стороны наконец после достижения радиусом окружности значения окружность вообще перестаёт пересекать стороны квадрата таким образом расстановка пределов интегрирования следующая
9. 21.07.2013, 02:06. Schufter в теме
   «МА. Вычисление двойного интеграла»
   ... повторному интегрированию пример 1 прямоугольная область интегрирования вычислить интеграл по области это самый простой пример однако он же и основополагающий с точки зрения теории как станет ясно потом фактически здесь нужно сначала вычислить интеграл по одной из переменных например по переменной считая вторую переменную константой есть некоторая аналогия с вычислением частных производных затем выполняется и второе интегрирование после вычисления зададимся вопросом имел ли значение порядок интегрирования ответ если оба повторных интеграла существуют то порядок интегрирования не важен и его следует выбирать таким чтобы вычисление проводилось по возможности удобнее пример 2 область интегрирования не является прямоугольной вычислить интеграл по области ограниченной параболой и прямой сделав чертёж см рис 1 оценим в каком порядке легче интегрировать прежде всего поясним что мы планируем придерживаться прежнего плана действий сначала проинтегрировать по одной переменной считая вторую постоянной а затем проинтегрировать по второй переменной и тут возникает вопрос о расстановке пределов интегрирования при интегрировании по прямоугольнику такого вопроса не было обратимся к построению двойного интеграла основным элементом этого построения является разбиение на малые в пределе бесконечно малые части области интегрирования мы умеем выполнять интегрирование по прямоугольнику разобьём область интегрирования на малые прямоугольники если они будут бесконечно малыми то они покроют область с криволинейной границей полностью двойной интеграл обладает свойством аддитивности если область интегрирования разбить на две части то интеграл будет равен сумме интегралов по полученным областям это верно для любого числа областей теперь посмотрим на такое разбиение с геометрической точки зрения если мы фиксируем например переменную считая её постоянной то мы выделяем набор прямоугольников выстроенных по прямой параллельной оси абсцисс см рис 2 тогда понятно в каких пределах следует интегрировать по переменной при данном значении но при другом значении пределы интегрирования по переменной будут уже другими это значит что эти пределы интегрирования являются функциями т е интегрирование можно выполнять по формуле ньютона-лейбница но пределы интегрирования будут переменными второе интегрирование выполняется уже стандартно пределы определяются всеми возможными значениями исходя из области интегрирования применим эти рассуждения к нашему конкретному примеру допустим мы хотим чтобы внутреннее интегрирование было по переменной это значит что во внутреннем интегрировании переменная играет роль константы постоянным значениям соответствуют горизонтальные прямые теперь уже конечно нет рядов прямогольников проведём несколько таких прямых см рис 3 видно что где бы ни была проведена прямая она всегда входит в кривую а выходит из прямой вот так мы и расставим пределы интегрирования во внутреннем интеграле осталось лишь определить в каких пределах изменяется для этого нужно решить уравнение расставляем пределы интегрирования и вычисляем интеграл ничто не мешало вычислять интеграл в другом порядке расставьте пределы интегрирования для этого случая самостоятельно и покажите прямым вычислением что ответ получается такой же пример 3 разбиение области интегрирования на части вычислить интеграл по области ограниченной параболой и прямыми с целью определения пределов интегрирования снова будем проводить прямые пересекающие область интегрирования только прямые на этот раз будут вертикальными а следовательно внутреннее интегрирование будет по переменной выбран именно этот порядок интегрирования так как из уравнения параболы неудобно выражать на чертеже см рис 4 показаны четыре из возможных вертикальных прямых как видно все они выходят из параболы но две входят через прямую а две через прямую это наводит на мысль что нужно разбивать область интегрирования на две части граница этого разбиения часть оси ординат к слову другой порядок интегрирования в этом смысле был бы ничуть не лучше область интегрирования всё равно пришлось бы разбивать
10. 04.07.2013, 00:34. Schufter в теме
    «ОДУ. Метод вариации произвольной постоянной»
    ... единственное решение при нахождении самих функций константы интегрирования не появляются ищется ведь любое одно решение в случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида алгоритм почти не меняется сначала нужно найти фср соответствующей однородной системы уравнений составить фундаментальную матрицу системы столбцы которой представляют собой элементы фср далее составляется уравнение решая систему определяем функции находя таким образом частное решение исходной системы фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений которое строится на основе уже найденной фср получается общее решение исходной системы примеры пример 1 линейные неоднородные уравнения первого порядка рассмотрим соответствующее однородное уравнение искомую функцию обозначим это уравнение легко решается методом разделения переменных а теперь представим решение исходного уравнения в виде где функцию ещё предстоит найти подставляем такой вид решения в исходное уравнение как видно второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются это характерная черта метода вариации произвольной постоянной вот здесь уже действительно произвольная постоянная таким образом пример 2 уравнение бернулли действуем аналогично первому примеру решаем уравнение методом разделения переменных получится поэтому решение исходного уравнения ищем в виде подставляем эту функцию в исходное уравнение и снова происходят сокращения здесь нужно не забыть удостовериться что при делении на не теряется решение а случаю отвечает решение исходного уравнения запомним его итак запишем это и есть решение при записи ответа следует также указать найденное ранее решение так как ему не соответствует никакое конечное значение константы пример 3 линейные неоднородные уравнения высших порядков сразу заметим что это уравнение можно решить и проще но на нём удобно показать метод хотя некоторые преимущества у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть итак начинать нужно с фср соответствующего однородного уравнения напомним что для нахождения фср составляется характеристическое уравнение таким образом общее решение однородного уравнения входящие сюда константы и предстоит варьировать составляем систему уравнений 1 отсюда определяем ещё раз подчеркнём константы интегрирования не нужны так как ищется одно решение...