Летопись МИФИ

Торжественное схождение с ума


ЕГЭ-2016
Тесты ЕГЭ Онлайн
Задачи ЕГЭ по математике
Решения ЕГЭ по математике

Вступительные экзамены и специальности
Фишки для Корума:
а б в г д е ё ж з и й к л м н о п р с т у ф х ц ч ш щ ъ ы ь э ю я
a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

Рейтинг пользователей Корума
Настроение • Модераторы
Темы • Картина дня • Realtime
Прочие фишки:
Нецензурная брань
Народная орфография
Морзянка онлайн • Калькулятор
Анаграммы • Игра в города

Загрузка календаря

Новые записи

20.05Задача про фермера и его кредит
26.01Актуализация сервисов ЕГЭ по математике 2014 года
05.11Поломалось
28.08Смена парадигмы
18.07Как вести себя в приличном обществе, предварительно обмочив штаны
оглавление »

Лучшие записи

1.Математическое порно1537
2.Ответы ко всем задачам ЕГЭ по математике 2010 года794
3.Тесты ЕГЭ Онлайн515
4.Результаты ЕГЭ по математике366
5.Результаты ЕГЭ по русскому языку267

О чем тут?

NX VBAB Webometrics igjhs А1-08 Абитуриенты Бачинский ВКонтакте Ващенифтему Волга Диплом Дрессировка преподов Дума ЕГЭ Жизнь Забабахал Инновации История Кафедра 26 Кларк Корум Лженаука МИФИ МИФИсты Морзянка НИЯУ Нанотехнологии Наука Образование Омоймоск ПЦ Поздравляю Поиск Президент Преподы Приколы Программное обеспечение Рейтинги Русский язык Сессия Смерть Статистика Стихи Сувениринг Тест Учеба Учебные материалы ФЯУ Физтех Фотки Ядерщики матанализ

Комментарии

Проверь, как быстро ты печатаешь
  16 ч. назад (Дмитрий)

Сциентифик калькулятор
  24 августа 2015 (Ишак)

Финансовая пирамида за 10 рублей
  20 августа 2015 (Джонс Уэйн)

Здравый смысл
  10 августа 2015 (You.Are.Mad)

Введение в теорию ошибок
  1 августа 2015 (vizax13)

В помощь юному радисту: Морзянка 1.0
  7 июля 2015 (Иван)

Математическое порно
  28 июня 2015 (Лена)

Ответы ко всем задачам ЕГЭ по математике 2010 года
  26 июня 2015 (ГОСТЬ)

Сквернословия псто
  3 июня 2015 (Антон)

Человек-халява в гостях у Бачинского и Стиллавина
  21 марта 2015 (RVN)

$kib@t®onЪ
Сейчас на скибатроне
Шедевры

Решения задач ЕГЭ по математике

Тесты ЕГЭ ОнлайнОткрытый банк задач ЕГЭ по математикеВопросы, просьбы, предложения

Задания: 
ВсеC1C2C3C4C5C6

Поиск заданий с текстом:
 все слова    точная фраза   

Задание C5 №50
Найдите все значения a, при которых уравнение имеет единственное решение

Добавлено 19.04.2011 13:43

Условие:

Найдите все положительные значения параметра а, при каждом из которых уравнение аx = x имеет единственное решение.

Решение:

Пусть f(x) = a^x, g(x) = x.

Функция g(x) - непрерывная, строго возрастающая на всей области определения и может принимать любое значение от минус бесконечности до плюс бесконечности.

При 0 < a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.



При a = 1 функция f(x) тождественно равна единице, и уравнение f(x) = g(x) также имеет единственное решение x=1.

При a > 1:
Производная функции h(x) = (a^x-x) равна
(a^x-x)' = a^x*ln(a)-1
Приравняем её к нулю:
a^x*ln(a) = 1
a^x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

У производной единственный ноль. Слева от этого значения функция h(x) убывает, справа - возрастает.

Поэтому она либо вообще не имеет нулей, либо имеет два нуля. И один корень она имеет только в том случае, когда он совпадает с найденным экстремумом.

То есть, нам требуется найти такое значение a, при котором функция
h(x) = a^x-x достигает экстремума и обращается в ноль в одной и той же точке. Иными словами, когда прямая y=x является касательной к графику функции a^x.



То есть

a^x = x
a^x*ln(a) = 1

Подставляем a^x = x во второе уравнение:
x*ln(a) = 1, откуда ln(a)=1/x, a = e^(1/x).

Снова подставляем во второе уравнение:
(e^(1/x))^x*(1/x) = 1
e^1 = x
x = e.

А это подставляем в первое уравнение:
a^e = e
a = e^(1/e)

Ответ:

(0;1] ∪ {e(1/e)}
Все заданияЗадания C5



Рейтинг блогов



 

откуда • куда • где • eureka!
Бездарно потраченное время:
95882 дня